Daily Math · 2026-06-02 - trei probleme despre Ecuații logaritmice, Limite — nedeterminare 0/0 prin factorizare, Ecuația dreptei prin două puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $$\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3.$$ Soluția ecuației este:

Condițiile de existență cer ca ambele argumente să fie strict pozitive: $x-1>0$ și $x+1>0$, deci $x>1$. Folosind proprietatea $\log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab)$, ecuația devine $$\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=3,$$ adică $\log_2(x^2-1)=3$. Trecând la formă exponențială: $x^2-1=2^3=8$, deci $x^2=9$, de unde $x=3$ sau $x=-3$. Valoarea $x=-3$ nu respectă condiția $x>1$, deci se respinge. Rămâne $x=3$, care verifică ecuația: $\log_2 2+\log_2 4=1+2=3$. Soluția este $x=3$.

Cheia este restrângerea $\log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab)$ urmată de verificarea domeniului $x>1$. Varianta $x=-3$ tentează pe cine rezolvă $x^2=9$ dar uită condițiile de existență; $x\in\{-3,3\}$ păstrează ambele rădăcini fără filtrare; $x=\sqrt7$ apare dacă se folosește greșit $x^2-1=2^3$ ca $x^2=2^3-1=7$ (confundă mutarea lui $-1$).

Calculați limita $$\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-x-6}{x^2-9}.$$

Înlocuind $x=3$ obținem $\dfrac{9-3-6}{9-9}=\dfrac{0}{0}$, deci avem o nedeterminare de tip $\dfrac{0}{0}$. Faptul că ambele expresii se anulează în $x=3$ arată că $x-3$ este factor comun. Factorizăm numărătorul: rădăcinile lui $x^2-x-6$ sunt $3$ și $-2$, deci $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$. Numitorul este o diferență de pătrate: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Astfel, pentru $x\neq 3$, $$\frac{x^2-x-6}{x^2-9}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+2}{x+3}.$$ Funcția obținută este continuă în $x=3$, deci $$\lim_{x\to 3}\frac{x+2}{x+3}=\frac{3+2}{3+3}=\frac{5}{6}.$$ Răspunsul corect este $\dfrac{5}{6}$.

Cheia: nedeterminarea $\frac{0}{0}$ se rezolvă scoțând factorul comun $x-3$ din ambele expresii. Varianta $\frac{1}{6}$ apare dintr-o eroare de semn la factorizare ($x-2$ în loc de $x+2$), dând $\frac{3-2}{3+3}$. Varianta $\frac{6}{5}$ este răsturnarea fracției corecte (numărător și numitor inversate). Varianta $1$ rezultă din anularea greșită a tuturor termenilor, ca și cum raportul ar fi $\frac{x-3}{x-3}$.

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$ și $B(4,5)$. Ecuația dreptei $AB$, scrisă sub forma generală $ax+by+c=0$, este:

Panta dreptei determinate de $A(-2,1)$ și $B(4,5)$ este $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-1}{4-(-2)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$ Folosind ecuația dreptei printr-un punct, $y-y_A=m(x-x_A)$: $$y-1=\frac{2}{3}\big(x-(-2)\big)=\frac{2}{3}(x+2).$$ Înmulțim cu $3$: $3(y-1)=2(x+2)$, adică $3y-3=2x+4$, deci $$2x-3y+7=0.$$ Verificare: pentru $A(-2,1)$: $2(-2)-3(1)+7=-4-3+7=0$; pentru $B(4,5)$: $2(4)-3(5)+7=8-15+7=0$. Ambele puncte verifică ecuația. Răspunsul corect este $2x-3y+7=0$.

Cheia: panta $m=\frac{2}{3}$ și apoi aducerea la forma generală. Varianta $2x-3y-7=0$ provine din greșeala de semn la termenul liber (mutarea lui $+7$ fără schimbarea semnului). $3x-2y+8=0$ apare dacă panta se inversează la $\frac{3}{2}$ (diferențele $x$ și $y$ schimbate). $2x+3y+1=0$ vine dintr-o eroare de semn la $b$, păstrând $+3y$ în loc de $-3y$.