Daily Math · 2026-06-08 - trei probleme despre Ecuații exponențiale, Monotonie și puncte de extrem — funcție rațională, Poziția dreaptă-cerc

Soluția reală a ecuației $3^{x+1}=27$ este:

Scriem membrul drept ca putere a bazei $3$: avem $27=3^3$, deci ecuația devine $3^{x+1}=3^3$. Funcția exponențială $t\mapsto 3^t$ este injectivă (strict crescătoare), așa că egalitatea puterilor cu aceeași bază implică egalitatea exponenților: $x+1=3$. De aici $x=2$. Verificare: $3^{2+1}=3^3=27$. Soluția este $x=2$.

Cheia: aducerea la aceeași bază ($27=3^3$) și egalarea exponenților. Varianta $x=3$ apare dacă se uită $+1$ din exponent și se egalează direct $x=3$. Varianta $x=9$ provine din împărțirea greșită $27:3=9$, ca și cum baza s-ar „anula". Varianta $x=26$ rezultă din scăderea naivă $27-1$, tratând exponentul ca termen liber.

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}$. Valoarea minimului local al funcției $f$ este:

Derivăm folosind regula câtului: $f'(x)=\dfrac{(x^2+4)'\cdot x-(x^2+4)\cdot x'}{x^2}=\dfrac{2x\cdot x-(x^2+4)}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}$. Pe domeniul $x\neq 0$ avem $x^2>0$, deci semnul lui $f'$ este dat de $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Astfel $f'(x)<0$ pentru $x\in(-2,0)\cup(0,2)$ și $f'(x)>0$ pentru $x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$. În $x=-2$ derivata trece de la $+$ la $-$: punct de maxim local. În $x=2$ derivata trece de la $-$ la $+$: punct de minim local. Valoarea minimului local este $f(2)=\dfrac{2^2+4}{2}=\dfrac{4+4}{2}=\dfrac{8}{2}=4$.

Cheia: semnul lui $f'=\frac{x^2-4}{x^2}$ dă maxim în $x=-2$ și minim în $x=2$. Capcana $-4$ vine din $f(-2)=\frac{8}{-2}$, confundând „minim local" cu „cea mai mică valoare numerică". Distractorul $2$ apare uitând $+4$ la numărător ($\frac{4}{2}$), iar $3$ provine din a nu ridica la pătrat ($\frac{2+4}{2}$).

Se consideră cercul $\mathcal{C}:\ (x-1)^2+(y+2)^2=9$ și familia de drepte $d_m:\ 3x-4y+m=0$, unde $m\in\mathbb{R}$. Mulțimea valorilor lui $m$ pentru care dreapta $d_m$ este tangentă cercului $\mathcal{C}$ este:

Cercul are centrul $C(1,-2)$ și raza $r=\sqrt{9}=3$. Dreapta $d_m$ este tangentă cercului dacă și numai dacă distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza: $$\operatorname{dist}(C,d_m)=\frac{|3\cdot 1-4\cdot(-2)+m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|3+8+m|}{5}=\frac{|m+11|}{5}.$$ Condiția de tangență $\dfrac{|m+11|}{5}=3$ dă $|m+11|=15$, deci $m+11=15$ sau $m+11=-15$. Rezultă $m=4$ sau $m=-26$, adică mulțimea $\{-26,\ 4\}$.

Cheia: tangența înseamnă $\operatorname{dist}(C,d)=r$, cu $r=\sqrt{9}=3$. Varianta $\{-10,20\}$ apare dacă se ignoră semnul ordonatei centrului ($-4\cdot(-2)=+8$ devine greșit $-8$), dând $|m-5|=15$. Varianta $\{-56,34\}$ provine din folosirea lui $r=9$ în loc de $\sqrt 9$, deci $|m+11|=45$. Varianta $\{-11\}$ confundă tangența cu trecerea prin centru ($\operatorname{dist}=0$).