Daily Math · 2026-06-09 - trei probleme despre Tabel cu dublă intrare — proporție marginală, Serii — testul raportului (D’Alembert), Teorema cosinusurilor — calculul unei laturi

Un tabel cu dublă intrare: $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{A} & \text{B} & \text{Total} \\ \hline \text{X} & 12 & 18 & 30 \\ \text{Y} & 8 & 12 & 20 \\ \hline \text{Total} & 20 & 30 & 50 \end{array}$$ Ce fracție din totalul respondenților se află în rândul Y?

Proporția marginală a unui rând se calculează împărțind totalul acelui rând la totalul general. Totalul rândului Y este $8 + 12 = 20$. Totalul general al tabelului este $50$. Astfel fracția cerută este $\dfrac{20}{50} = \dfrac{2}{5}$. Varianta $\dfrac{1}{5}$ apare din împărțirea greșită $\dfrac{10}{50}$ (totalul unei coloane în loc de rând). Varianta $\dfrac{3}{5}$ provine din totalul rândului X ($30/50$). Varianta $\dfrac{1}{2}$ vine din estimarea vizuală „jumătate din tabel”.

Cheia: proporție marginală = totalul rândului $\div$ totalul general, nu suma celulelor individuale $\div$ ceva. Cele mai comune greșeli sunt să împarți la suma unui singur rând sau să confunzi rândul cu coloana. Tabelele cu dublă intrare sunt o temă frecventă în testele internaționale SAT și în statistică descriptivă.

Aplică testul raportului seriei $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!}$. Limita $L = \lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ este:

Termenii seriei sunt $a_n = \dfrac{1}{n!}$. Calculăm raportul: $$\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}.$$ Luăm limita: $L = \displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n+1} = 0$. Deoarece $L = 0 < 1$, testul raportului (D’Alembert) garantează că seria $\sum \dfrac{1}{n!}$ converge absolut. Suma este chiar $e - 1 \approx 1{,}718$.

Testul raportului este ideal pentru factoriale: $\dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{1}{n+1} \to 0$. Capcana clasică este inversarea fracției, care dă $L = \infty$ și concluzia greșită de divergență. Seria $e^x = \sum x^n/n!$ este exemplul canonic al unui factorial care domină orice putere.

Într-un triunghi, două laturi au lungimile $4$ și $5$, iar unghiul dintre ele este $60^{\circ}$. Lungimea celei de-a treia laturi este:

Aplicăm teorema cosinusurilor: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$, unde $a = 4$, $b = 5$, $C = 60^{\circ}$ și $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$. $$c^{2} = 16 + 25 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 41 - 20 = 21.$$ Deci $c = \sqrt{21}$. Varianta $\sqrt{41}$ apare dacă uiți termenul $-2ab\cos C$ și aplici Pitagora direct: $4^2+5^2=41$. Varianta $\sqrt{61}$ vine din confundarea semnului ($16+25+20=61$). Varianta $3$ provine dintr-un calcul complet greșit.

Cheia: $\cos 60^{\circ} = \tfrac{1}{2}$ și semnul $-$ din formulă. Cel mai frecvent distractor este $\sqrt{41}$, care apare când elevul omite termenul cosinusului și aplică Pitagora. Teorema cosinusurilor generalizează Pitagora pentru orice unghi.