Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 5

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 5. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — fără cont, direct în browser.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Se consideră numerele complexe $z_1=3-3i$ și $z_2=5-6i$ . Arătați că $2z_1-z_2=1$ .
2.
Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x+15$ . Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m)+f(m+1)=35$ .
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\cdot 3^x - 3^{x+1}+27=0$ .
4.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie multiplu de $25$ .
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,4)$ , $B(-2,6)$ . Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că, dacă $C(a,b)$ , atunci $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ .
6.
Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB=4$ . Știind că aria $\triangle ABC$ este egală cu $6$ , calculați lungimea laturii $BC$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a)=\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases}2x+2y+z=3\\2x+(a+1)y+az=3\\ax+6y+4z=a+3\end{cases}

, unde

a

este număr real.

a.
Arătați că $\det(A(a))=(a-1)(a-4)$ , pentru orice număr real $a$ .
b.
Arătați că nu există niciun număr real $a$ pentru care $(A(4)-A(1))\cdot A(a)=A(a)\cdot(A(4)-A(1))$ .
c.
Determinați numerele întregi $a$ , pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $(x_0,y_0,z_0)$ cu $x_0$ , $y_0$ și $z_0$ numere întregi.

Pe mulțimea

M=(-10,10)

se definește legea de compoziție asociativă

x*y=\dfrac{100(x+y)}{xy+100}

a.
Arătați că $3*0=3$ .
b.
Se consideră $f:M\to(0,+\infty)$ , $f(x)=\dfrac{10-x}{10+x}$ . Demonstrați că $f(x*y)=f(x)f(y)$ , pentru orice $x,y\in M$ .
c.
Determinați $x\in M$ pentru care $\underbrace{x*x*\cdots*x}_{\text{de 11 ori}}=0$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=e^x(x^2-4x+1)

a.
Arătați că $f'(x)=e^x(x-3)(x+1)$ , $x\in\mathbb{R}$ .
b.
Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ , în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=2020$ .
c.
Determinați valorile reale ale lui $a$ , știind că graficul funcției $f$ intersectează dreapta de ecuație $y=a$ în exact trei puncte.

Se consideră funcția

f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\ln x+\dfrac{1}{\ln x}

a.
Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(1,+\infty)$ .
b.
Calculați $\displaystyle\int_{e}^{e^2}\dfrac{1}{x}\bigl(f(x)-\ln x\bigr)\,dx$ .
c.
Determinați numărul real $a$ , $a>e$ , știind că $\displaystyle\int_{e}^{a}\ln x\,dx=2a$ .

Ce notă ai lua azi la BAC?

5 grile pe profilul tău, de la Începător la Expert. Scor instant și vezi unde te situezi — fără cont, ~3 minute.

Testează-te

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Ce notă ai lua azi la BAC?

5 grile pe profilul tău, de la Începător la Expert. Scor instant și vezi unde te situezi — fără cont, ~3 minute.

Testează-te

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.