Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2024

1. Folosim că logaritmul zecimal al lui $100$ este $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$, deci $2\lg 100 = 2\cdot 2 = 4$.
2. Aplicăm proprietatea sumei: $\lg 2 + \lg 5 = \lg(2\cdot 5) = \lg 10 = 1$.
3. Adunăm rezultatele: $4 + 1 = 5$.

Răspuns: $2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 5$

1. Calculăm valorile funcției: $f(a) = a - 6$ și $f(3a) = 3a - 6$.
2. Scriem ecuația: $f(a) + f(3a) = (a-6) + (3a-6) = 4a - 12$.
3. Rezolvăm $4a - 12 = 0$, de unde $a = 3$.

Răspuns: $a = 3$

1. Folosim regula produsului puterilor cu aceeași bază: $5^{3x}\cdot 5^2 = 5^{3x+2}$.
2. Ecuația devine $5^{3x+2} = 5^x$; funcția exponențială fiind injectivă, egalăm exponenții: $3x + 2 = x$.
3. Rezolvăm: $2x = -2$, deci $x = -1$.

Răspuns: $x = -1$

1. Identificăm numerele pare din mulțimea $A=\{1,2,4,6,8,9\}$: acestea sunt $2,4,6,8$, deci $4$ numere pare.
2. Submulțimile cu două elemente sunt grupuri neordonate, deci numărul lor se calculează cu combinări: $C_4^2$.
3. Calculăm $C_4^2 = \dfrac{4\cdot 3}{2} = 6$.

Răspuns: $6$ submulțimi

1. Scriem coordonatele vectorilor: $\overrightarrow{AC} = (x_C - 3,\ y_C - 1)$ și $\overrightarrow{OB} = (3 - 0,\ 0 - 0) = (3, 0)$.
2. Din $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}$ egalăm coordonatele: $x_C - 3 = 3$ și $y_C - 1 = 0$.
3. Rezolvăm și obținem $x_C = 6$, $y_C = 1$.

Răspuns: $C(6,1)$

1. Triunghiul este dreptunghic în $A$ și are $\widehat{B} = \dfrac{\pi}{4} = 45^\circ$; atunci și $\widehat{C} = 45^\circ$, deci triunghiul este isoscel, cu $AB = AC$.
2. Scriem aria cu catetele: $\dfrac{AB\cdot AC}{2} = 18$, iar cu $AB = AC$ obținem $\dfrac{AB^2}{2} = 18$.
3. Rezultă $AB^2 = 36$, deci $AB = 6$.

Răspuns: $AB = 6$

1. Înlocuim $x = 1$ în $M(x)$: diagonala devine $1,\ 1+2=3,\ 1+2=3$, iar $(2,3) = 1$ și $(3,2) = 2\cdot 1 = 2$, deci $M(1) = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&3&1 \\ 0&2&3 \end{pmatrix}$.
2. Dezvoltăm determinantul după prima linie; cum $(1,1) = 1$ și restul liniei e nul, $\det(M(1)) = 1\cdot \det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.
3. Calculăm minorul: $3\cdot 3 - 1\cdot 2 = 9 - 2 = 7$.

Răspuns: $\det(M(1)) = 7$

1. Scriem $M(2) = \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ 0&4&2 \\ 0&4&4 \end{pmatrix}$ (diagonala $2,4,4$, cu $(2,3)=2$ și $(3,2)=4$).
2. Efectuăm produsul $M(x)\cdot M(2)$ și îl egalăm cu $M(x-1)$; identificând elementul de pe poziția $(1,1)$ obținem $2x = x - 1$.
3. Rezolvăm $2x = x - 1$, de unde $x = -1$ (valoare care verifică și celelalte poziții).

Răspuns: $x = -1$

1. Calculăm determinantul prin dezvoltare după prima coloană: $\det(M(x)) = x\big[(x+2)^2 - 2x^2\big] = x(-x^2 + 4x + 4)$.
2. Înlocuim în inecuație: $2\det(M(n)) \le \det(M(2n))$ devine $2n(-n^2+4n+4) \le 2n(-4n^2+8n+4)$.
3. Pentru $n$ natural ($n\ge 0$) reducem la $n(3n - 4) \le 0$, adică $0 \le n \le \dfrac{4}{3}$.
4. Singurele numere naturale din interval sunt $0$ și $1$.

Răspuns: $n\in\{0,1\}$

1. Înlocuim $X = 2$ în polinom: $f(2) = 2^3 - 2\cdot 2^2 - a\cdot 2 + 2a = 8 - 8 - 2a + 2a$.
2. Reducem termenii: $8 - 8 = 0$ și $-2a + 2a = 0$.
3. Suma este $0$, indiferent de valoarea lui $a$.

Răspuns: $f(2) = 0$ pentru orice $a\in\mathbb{R}$

1. Pentru $a = 1$ polinomul devine $f = X^3 - 2X^2 - X + 2$, iar $g = X + 1$ are rădăcina $-1$.
2. Calculăm $f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2$.
3. Reducem: $-1 - 2 + 1 + 2 = 0$; cum $f(-1) = 0$, conform teoremei lui Bézout $(X+1)\mid f$.

Răspuns: $g = X+1$ divide $f$

1. Grupăm termenii: $f = X^2(X-2) - a(X-2) = (X-2)(X^2 - a)$.
2. Pentru $a > 0$ rădăcinile sunt $x_1 = 2$, $x_2 = \sqrt{a}$, $x_3 = -\sqrt{a}$, deci $|x_1| + |x_2| + |x_3| = 2 + 2\sqrt{a}$.
3. Din $2 + 2\sqrt{a} = 8$ obținem $\sqrt{a} = 3$, deci $a = 9$.

Răspuns: $a = 9$

1. Derivăm termen cu termen; pentru $e^x(2x-4)$ aplicăm regula produsului: $\big(e^x(2x-4)\big)' = e^x(2x-4) + e^x\cdot 2$.
2. Adăugăm derivata restului: $(x^2 - 2x + 4)' = 2x - 2$, deci $f'(x) = e^x(2x-4) + 2e^x + 2x - 2$.
3. Reducem: $e^x(2x-4) + 2e^x = e^x(2x-2)$, astfel $f'(x) = e^x(2x-2) + (2x-2) = (2x-2)(e^x+1)$.
4. Dăm factor comun $2$: $2x - 2 = 2(x-1)$, deci $f'(x) = 2(x-1)(e^x+1)$.

Răspuns: $f'(x) = 2(x-1)(e^x+1)$

1. Pentru $x\to 0$ avem $f(0) = e^0(0-4) + 0 - 0 + 4 = -4 + 4 = 0$ și $1 - e^0 = 0$, deci este caz $\dfrac{0}{0}$.
2. Aplicăm regula lui l'Hôpital; cu $(1-e^x)' = -e^x$, limita devine $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f'(x)}{-e^x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{2(x-1)(e^x+1)}{-e^x}$.
3. Înlocuim $x = 0$: $2(0-1)(e^0+1) = 2(-1)(2) = -4$ și $-e^0 = -1$, deci limita este $\dfrac{-4}{-1} = 4$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{1-e^x} = 4$

1. Cum $e^x + 1 > 0$, semnul lui $f'(x) = 2(x-1)(e^x+1)$ este dat de $(x-1)$: $f$ este descrescătoare pe $(-\infty,1)$ și crescătoare pe $(1,\infty)$, deci $x = 1$ este punct de minim.
2. Calculăm valoarea minimă: $f(1) = e^1(2-4) + 1 - 2 + 4 = -2e + 3 = 3 - 2e < 0$ (deoarece $2e > 3$).
3. Avem $\lim_{x\to-\infty} f(x) = +\infty$ și $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$, iar minimul $f(1) < 0$; graficul taie axa $Ox$ exact o dată pe fiecare ramură.

Răspuns: Ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții reale

1. Simplificăm integrandul: $f(x)\,(3x^2+1) = \dfrac{4x}{3x^2+1}\cdot (3x^2+1) = 4x$.
2. Calculăm o primitivă: $\displaystyle\int 4x\,dx = 2x^2$.
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $2x^2\Big|_3^4 = 2\cdot 16 - 2\cdot 9 = 32 - 18 = 14$.

Răspuns: $\displaystyle\int_3^4 f(x)\,(3x^2+1)\,dx = 14$

1. Observăm că $(3x^2+1)' = 6x$ și $4x = \dfrac{2}{3}\cdot 6x$, deci o primitivă este $\dfrac{2}{3}\ln(3x^2+1)$.
2. Aplicăm Leibniz-Newton: $\dfrac{2}{3}\ln(3x^2+1)\Big|_0^1 = \dfrac{2}{3}\ln 4 - \dfrac{2}{3}\ln 1 = \dfrac{2}{3}\ln 4$.
3. Scriem $\ln 4 = 2\ln 2$, deci rezultatul este $\dfrac{2}{3}\cdot 2\ln 2 = \dfrac{4}{3}\ln 2$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{4}{3}\ln 2$

1. Simplificăm: $g(x) = \dfrac{4\ln x}{\frac{4x}{3x^2+1}} = \dfrac{(3x^2+1)\ln x}{x} = \left(3x + \dfrac{1}{x}\right)\ln x$, funcție pozitivă pe $(1,e)$, deci aria este $\displaystyle\int_1^e g(x)\,dx$.
2. Separăm: $\displaystyle\int_1^e 3x\ln x\,dx + \int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx$. Prin părți, $\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}\Big|_1^e = \dfrac{e^2+1}{4}$, deci primul termen este $\dfrac{3(e^2+1)}{4}$.
3. Al doilea termen: $\displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\,dx = \dfrac{\ln^2 x}{2}\Big|_1^e = \dfrac{1}{2}$.
4. Adunăm: $\dfrac{3(e^2+1)}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3e^2 + 3 + 2}{4} = \dfrac{3e^2+5}{4}$.

Răspuns: Aria $= \dfrac{3e^2+5}{4}$