Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2022

1. Desfacem paranteza: $6(\sqrt{6}-1)=6\sqrt{6}-6$, deci expresia devine $8-6\sqrt{6}+6\sqrt{6}-6$.
2. Termenii $-6\sqrt{6}$ și $+6\sqrt{6}$ se reduc, rămânând $8-6$.
3. Calculăm $8-6=2$, ceea ce trebuia demonstrat.

Răspuns: $8-6\sqrt{6}+6(\sqrt{6}-1)=2$

1. Calculăm $f(0)=3\cdot 0+m=m$.
2. Atunci $(f\circ f)(0)=f(f(0))=f(m)=3m+m=4m$.
3. Din condiția $(f\circ f)(0)=4$ obținem $4m=4$, deci $m=1$.

Răspuns: $m=1$

1. Observăm că $2^{2x}=(2^2)^x=4^x$, deci ecuația devine $3\cdot 4^x+4^x=4$.
2. Adunăm termenii asemenea: $4\cdot 4^x=4$, de unde $4^x=1$.
3. Cum $4^x=4^0$ și bazele sunt egale, rezultă $x=0$.

Răspuns: $x=0$

1. Numerele naturale de două cifre sunt $10, 11, \ldots, 99$, deci $90$ cazuri posibile.
2. Divizorii lui $6$ care pot fi cifră a zecilor sunt $\{1,2,3,6\}$, adică $4$ valori; pentru fiecare, cifra unităților are $10$ opțiuni, deci $4\cdot 10=40$ cazuri favorabile.
3. Probabilitatea este $p=\dfrac{40}{90}=\dfrac{4}{9}$.

Răspuns: $p=\dfrac{4}{9}$

1. Punctul $A(a,a)$ aparține dreptei $d:y=3x-2$ dacă înlocuind $x=a$ și $y=a$ obținem o egalitate: $a=3a-2$.
2. Rezolvăm ecuația: $a-3a=-2$, adică $-2a=-2$.
3. Împărțim la $-2$ și găsim $a=1$.

Răspuns: $a=1$

1. Din $\cos A=0$ rezultă $A=\dfrac{\pi}{2}$, deci triunghiul este dreptunghic în $A$.
2. Fiind isoscel cu $AB=10$, catetele sunt egale: $AC=AB=10$.
3. Aria este $\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{10\cdot 10}{2}=50$, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: $\mathcal{A}_{ABC}=50$

1. Înlocuim $x=1$: $-x=-1$, $x^2=1$, $-2x=-2$, deci $A(1)=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală: $1\cdot 1\cdot 1$.
3. Obținem $\det(A(1))=1$, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: $\det(A(1))=1$

1. Înmulțim cele două matrici pe linii și coloane; linia $1$ a produsului devine $(1,\ -y-x,\ y^2+2xy+x^2)$, iar pe poziția $(2,3)$ apare $-2y-2x$.
2. Recunoaștem formulele: $y^2+2xy+x^2=(x+y)^2$ și $-2y-2x=-2(x+y)$, $-y-x=-(x+y)$.
3. Astfel produsul are exact forma $\begin{pmatrix} 1 & -(x+y) & (x+y)^2 \\ 0 & 1 & -2(x+y) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=A(x+y)$.

Răspuns: $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$

1. Aplicând repetat $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, produsul devine $A\bigl(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)\bigr)=A(4n+6)$.
2. Egalitatea $A(4n+6)=A(2n^2)$ revine la $4n+6=2n^2$, adică $n^2-2n-3=0$.
3. Factorizăm $(n-3)(n+1)=0$; soluția naturală este $n=3$.

Răspuns: $n=3$

1. Înlocuim $x=1$ și $y=0$ în definiție: $1*0=\dfrac{2\cdot 1}{0+2}+\dfrac{2\cdot 0}{1+2}$.
2. Calculăm cei doi termeni: $\dfrac{2}{2}=1$ și $\dfrac{0}{3}=0$.
3. Adunând, obținem $1*0=1+0=1$, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: $1*0=1$

1. Calculăm $x*0=\dfrac{2x}{0+2}+\dfrac{2\cdot 0}{x+2}=\dfrac{2x}{2}+\dfrac{0}{x+2}=x$.
2. Calculăm $0*x=\dfrac{2\cdot 0}{x+2}+\dfrac{2x}{0+2}=\dfrac{0}{x+2}+\dfrac{2x}{2}=x$.
3. Cum $x*0=0*x=x$ pentru orice $x\in M$, rezultă că $e=0$ este element neutru.

Răspuns: $e=0$ este elementul neutru

1. Calculăm fiecare termen: $\dfrac{2x}{\frac{4}{x}+2}=\dfrac{x^2}{x+2}$ și $\dfrac{2\cdot\frac{4}{x}}{x+2}=\dfrac{8}{x(x+2)}$.
2. Aducem la același numitor: $x*\dfrac{4}{x}=\dfrac{x^3+8}{x(x+2)}$.
3. Egalăm cu $x$: $\dfrac{x^3+8}{x(x+2)}=x \Rightarrow x^3+8=x^2(x+2)$, adică $8=2x^2$, deci $x^2=4$ și soluția nenulă din $M$ este $x=2$.

Răspuns: $x=2$

1. Derivăm câtul $\dfrac{x}{e^x-x}$ cu $u=x$, $v=e^x-x$: numărătorul este $u'v-uv'=1\cdot(e^x-x)-x(e^x-1)=e^x-x-xe^x+x$.
2. Reducem termenii $-x+x=0$ și dăm factor comun: $e^x-xe^x=e^x(1-x)$.
3. Cum derivata constantei $2$ este $0$, obținem $f'(x)=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$

1. Cum $(e^x-x)^2>0$ și $e^x>0$, semnul lui $f'(x)$ este dat de factorul $1-x$.
2. $1-x\ge 0 \Leftrightarrow x\le 1$, deci $f'(x)\ge 0$ pe $(-\infty,1]$ și $f'(x)\le 0$ pe $[1,+\infty)$.
3. Prin urmare $f$ este crescătoare pe $(-\infty,1]$ și descrescătoare pe $[1,+\infty)$.

Răspuns: $f$ crescătoare pe $(-\infty,1]$, descrescătoare pe $[1,+\infty)$

1. Calculăm limita la $-\infty$: cum $e^x\to 0$, $\dfrac{x}{e^x-x}\to\dfrac{x}{-x}=-1$, deci $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=2+(-1)=1$.
2. Pe $(-\infty,1]$, $f$ este continuă și strict crescătoare, cu valori în $(1,\ f(1)]$, unde $f(1)=2+\dfrac{1}{e-1}>2$.
3. Pe $[1,+\infty)$, $f$ este strict descrescătoare cu valori $>2$, deci nu atinge $m\le 2$; astfel, pentru orice $m\in(1,2]$, ecuația $f(x)=m$ are exact o soluție, situată pe $(-\infty,1]$.

Răspuns: Pentru orice $m\in(1,2]$, ecuația $f(x)=m$ are soluție unică (pe $(-\infty,1]$)

1. Simplificăm integrandul: $f(x)-\sqrt{x^2+9}=(3-x+\sqrt{x^2+9})-\sqrt{x^2+9}=3-x$.
2. O primitivă a lui $3-x$ este $3x-\dfrac{x^2}{2}$.
3. Aplicăm Leibniz–Newton: $\left(15-\dfrac{25}{2}\right)-\left(3-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}=0$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^5\bigl(f(x)-\sqrt{x^2+9}\bigr)\,dx=0$

1. Simplificăm numitorul: $f(x)+x-3=(3-x+\sqrt{x^2+9})+x-3=\sqrt{x^2+9}$, deci integrandul este $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$.
2. O primitivă este $\sqrt{x^2+9}$, deoarece $\left(\sqrt{x^2+9}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$.
3. Aplicăm Leibniz–Newton: $\sqrt{16+9}-\sqrt{0+9}=5-3=2$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^4\dfrac{x}{f(x)+x-3}\,dx=2$

1. Pe $[0,1]$ avem $\sqrt{x^2+9}\ge 0$ și $3-x\ge 2$, deci $f(x)=3-x+\sqrt{x^2+9}\ge 2$.
2. Atunci $0\le\dfrac{x^n}{f(x)}\le\dfrac{x^n}{2}$ pe $[0,1]$; integrând, $0\le I_n\le\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{2}\,dx=\dfrac{1}{2(n+1)}$.
3. Cum $\dfrac{1}{2(n+1)}\to 0$, prin criteriul cleștelui rezultă $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$