Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2023

1. Calculăm $z-2i=(3+i)-2i=3-i$.
2. Atunci $z(z-2i)=(3+i)(3-i)$, produs de forma $(a+b)(a-b)$ cu $a=3$ și $b=i$.
3. Obținem $(3+i)(3-i)=3^2-i^2=9-(-1)=9+1=10$.

Răspuns: $z(z-2i)=10$

1. Calculăm $f(2x)=5\cdot 2x+1=10x+1$.
2. Calculăm $2f(x)=2(5x+1)=10x+2$.
3. Scădem: $f(2x)-2f(x)=(10x+1)-(10x+2)=1-2=-1$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$.

Răspuns: $f(2x)-2f(x)=-1$

1. Ridicăm la cub ambii membri: $x^3-2x+2=x^3$.
2. Reducem $x^3$ din ambele părți și obținem $-2x+2=0$.
3. Rezolvăm: $2x=2$, deci $x=1$ (verifică ecuația inițială).

Răspuns: $x=1$

1. Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\ldots,99$, deci $A$ are $90$ de elemente (cazuri posibile).
2. $n+5$ este multiplu de $10$ $\Leftrightarrow$ ultima cifră a lui $n$ este $5$; numerele favorabile sunt $15,25,\ldots,95$, în total $9$.
3. Probabilitatea cerută este $\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}$.

Răspuns: $P=\dfrac{1}{10}$

1. Calculăm panta dreptei $AB$: $m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-0}{5-4}=4$.
2. Dreapta $d$ este paralelă cu $AB$, deci are aceeași pantă $m=4$.
3. Cum $d$ trece prin $O(0,0)$, ecuația ei este $y=4x$.

Răspuns: $d:\ y=4x$

1. În triunghiul isoscel dreptunghic în $A$, înălțimea $AD$ din $A$ pe ipotenuza $BC$ este și mediană, deci $AD=\dfrac{BC}{2}$.
2. Aria este $\mathcal{A}=\dfrac{AD\cdot BC}{2}=\dfrac{\frac{BC}{2}\cdot BC}{2}=\dfrac{BC^2}{4}=4$.
3. Rezultă $BC^2=16$, deci $BC=4$.

Răspuns: $BC=4$

1. Înlocuim $a=0$: $A(0)=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$.
2. Aplicăm regula lui Sarrus: $\det(A(0))=2\cdot(-1)\cdot(-2)+1\cdot 0\cdot 0+2\cdot 1\cdot 1-0\cdot(-1)\cdot 2-1\cdot 0\cdot 2-(-2)\cdot 1\cdot 1$.
3. Aceasta este $4+2+0-0-0+2=8$.

Răspuns: $\det(A(0))=8$

1. Dezvoltând determinantul, obținem $\det(A(a))=-a^2+2a+8$.
2. Matricea $A(a)$ este inversabilă $\Leftrightarrow \det(A(a))\neq 0$.
3. Rezolvăm $-a^2+2a+8=0 \Leftrightarrow a^2-2a-8=0 \Leftrightarrow (a-4)(a+2)=0$, deci $a\in\{-2,4\}$.
4. Prin urmare $A(a)$ este inversabilă pentru $a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,4\}$.

Răspuns: $a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,4\}$

1. Pentru $a=-2$ sistemul este compatibil nedeterminat; luând $z_0=\alpha$ parametru, soluțiile sunt $(x_0,y_0,z_0)=(2,\ -2-2\alpha,\ \alpha)$.
2. Înlocuim în expresie: $x_0 z_0+y_0=2\cdot\alpha+(-2-2\alpha)=2\alpha-2-2\alpha$.
3. Termenii în $\alpha$ se reduc și rămâne $-2$, pentru orice soluție.

Răspuns: $x_0 z_0+y_0=-2$

1. Aplicăm legea: $2\circ 3=2\cdot 3+(2^2-2)(2^3-2)$.
2. Calculăm factorii: $2^2-2=2$ și $2^3-2=6$, deci $(2^2-2)(2^3-2)=2\cdot 6=12$.
3. Adunăm: $2\circ 3=6+12=18$.

Răspuns: $2\circ 3=18$

1. Calculăm $x\circ 1=x\cdot 1+(2^x-2)(2^1-2)$.
2. Cum $2^1-2=0$, produsul $(2^x-2)\cdot 0=0$, deci $x\circ 1=x$.
3. Legea „$\circ$” este comutativă, deci și $1\circ x=x$; prin urmare $e=1$ este element neutru.

Răspuns: $e=1$ este elementul neutru

1. Avem $x\circ(-x)=x\cdot(-x)+(2^x-2)(2^{-x}-2)$; folosim $2^x\cdot 2^{-x}=1$.
2. Dezvoltăm: $(2^x-2)(2^{-x}-2)=1-2\cdot 2^x-2\cdot 2^{-x}+4$, deci $x\circ(-x)=-x^2+1-2\cdot 2^x-2\cdot 2^{-x}+4$.
3. Grupăm: $-2\cdot 2^x+4-2\cdot 2^{-x}=-2\left(\sqrt{2^x}-\dfrac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2\le 0$.
4. Astfel $x\circ(-x)=1-x^2-2\left(\sqrt{2^x}-\dfrac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2\le 1$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$.

Răspuns: $x\circ(-x)\le 1$

1. Scriem $f(x)=x+3\big(\ln(x+3)-\ln(x-1)\big)$ și derivăm: $f'(x)=1+\dfrac{3}{x+3}-\dfrac{3}{x-1}$.
2. Aducem la numitorul comun $(x-1)(x+3)$: numărătorul este $(x+3)(x-1)+3(x-1)-3(x+3)$.
3. Reducem: $(x^2+2x-3)+(3x-3)-(3x+9)=x^2+2x-15$, deci $f'(x)=\dfrac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$

1. Panta: $m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\ln\dfrac{x+3}{x-1}\right)=1$.
2. Ordonata: $f(x)-x=3\ln\dfrac{x+3}{x-1}$, iar $\dfrac{x+3}{x-1}\to 1$, deci $n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=3\ln 1=0$.
3. Asimptota oblică spre $+\infty$ are ecuația $y=mx+n=x$.

Răspuns: $y=x$

1. Rezolvăm $f'(x)=0$: $x^2+2x-15=(x-3)(x+5)=0$, iar pe $(1,+\infty)$ singura soluție este $x=3$.
2. $f'<0$ pe $(1,3)$ și $f'>0$ pe $(3,+\infty)$, deci $x=3$ este punct de minim cu $f(3)=3+3\ln\dfrac{6}{2}=3+3\ln 3$.
3. Pentru orice $x\in(1,+\infty)$ avem $f(x)\ge f(3)$, adică $x+3\ln\dfrac{x+3}{x-1}\ge 3+3\ln 3$.
4. Trecem $x$ și $3\ln 3$ și împărțim la $3$: $\ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\dfrac{x}{3}$.

Răspuns: $\ln\dfrac{x+3}{3(x-1)}\ge 1-\dfrac{x}{3}$

1. Cum $f(x)e^x=(x^2+2x)e^{-x}\cdot e^x=x^2+2x$, integrala devine $\displaystyle\int_0^3 (x^2+2x)\,dx$.
2. O primitivă este $\dfrac{x^3}{3}+x^2$, deci integrala este $\left(\dfrac{27}{3}+9\right)-(0+0)$.
3. Calculăm: $\dfrac{27}{3}+9=9+9=18$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,e^x\,dx=18$

1. Factorizăm: $\dfrac{f(x)}{x+2}=\dfrac{x(x+2)e^{-x}}{x+2}=x\,e^{-x}$, deci integrala este $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx$.
2. Integrăm prin părți cu $u=x$, $v'=e^{-x}$; o primitivă este $-x\,e^{-x}-e^{-x}$.
3. Evaluăm: în $x=1$ obținem $-\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e}$, în $x=0$ obținem $-1$, deci integrala este $\left(-\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e}\right)-(-1)=1-\dfrac{2}{e}=\dfrac{e-2}{e}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{x+2}\,dx=\dfrac{e-2}{e}$

1. Limita este caz $\dfrac{0}{0}$; aplicăm regula lui l'Hôpital, folosind $\left(\int_0^x f(t)\,dt\right)'=f(x)$ și $(x^2)'=2x$, deci limita devine $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{2x}$.
2. Cum $f(x)=x(x+2)e^{-x}$, simplificăm factorul $x$: $\dfrac{f(x)}{2x}=\dfrac{(x+2)\,e^{-x}}{2}$.
3. Trecem la limită în $x=0$: $\dfrac{(0+2)\,e^{0}}{2}=\dfrac{2}{2}=1$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x^2}\int_0^x f(t)\,dt\right)=1$