pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea Specială 2021

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2021, sesiunea specială. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

  1. 1.
    Calculați modulul numărului complex z=(2+3i)(2−3i)−(9−3i).z=(2+3i)(2-3i)-(9-3i).
  2. 2.
    Se consideră funcțiile f:R→R, f(x)=x−2f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x-2 și g:R→R, g(x)=5x+20.g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ g(x)=5x+20. Calculați (g∘f)(2).(g\circ f)(2).
  3. 3.
    Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−5=116.4^{x-5}=\dfrac{1}{16}.
  4. 4.
    Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8.8.
  5. 5.
    Se consideră paralelogramul ABCDABCD cu AB=4,AB=4, BC=6BC=6 și măsura unghiului ABCABC de 120∘.120^{\circ}. Determinați modulul vectorului AM→,\overrightarrow{AM}, unde punctul MM este mijlocul segmentului BD.BD.
  6. 6.
    Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=12,AB=12, AC=16AC=16 și BC=20.BC=20. Arătați că rR=25,\dfrac{r}{R}=\dfrac{2}{5}, unde rr este raza cercului înscris în triunghiul ABCABC și RR este raza cercului circumscris triunghiului ABC.ABC.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea A(a)=(a1−22132a−121)A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+y−2z=22x+y+3z=1(2a−1)x+2y+z=a\begin{cases} ax+y-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}, unde aa este număr real.
  1. a.
    Arătați că det⁡(A(4))=5.\det(A(4))=5.
  2. b.
    Determinați numărul real aa pentru care matricea A(a)A(a) nu este inversabilă.
  3. c.
    Pentru a=3,a=3, determinați soluțiile (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) ale sistemului de ecuații pentru care z02=x0+y0.z_0^2=x_0+y_0.
Pe mulțimea G=(1,+∞)G=(1,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xlog⁡3y.x*y=\sqrt{x^{\log_3 y}}.
  1. a.
    Arătați că 4∗3=2.4*3=2.
  2. b.
    Arătați că e=9e=9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”.
  3. c.
    Determinați x∈G,x\in G, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „∗*”.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−9)(x2−4)+3.f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3.
  1. a.
    Arătați că f′(x)=2x(2x2−13),f'(x)=2x(2x^2-13), x∈R.x\in\mathbb{R}.
  2. b.
    Arătați că lim⁡x→3sin⁡(x−3)f(x)−3=130.\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{\sin(x-3)}{f(x)-3}=\dfrac{1}{30}.
  3. c.
    Determinați valorile reale ale lui mm pentru care ecuația f(x)=mf(x)=m are exact patru soluții reale.
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x arctg x.f(x)=2x\,\mathrm{arctg}\,x.
  1. a.
    Arătați că ∫12f(x)arctg x dx=3.\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{\mathrm{arctg}\,x}\,dx=3.
  2. b.
    Determinați numărul real nenul aa pentru care ∫03f(x) dx=πa−3.\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} f(x)\,dx=\dfrac{\pi}{a}-\sqrt{3}.
  3. c.
    Demonstrați că ∫−11x f(x) dx=0.\displaystyle\int_{-1}^{1} x\,f(x)\,dx=0.

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-aDerivateclasa a XI-aIntegrala definităclasa a XII-aLogaritmiclasa a XI-aDeterminanțiclasa a XI-aLimite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.