Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Toamnă 2021

1. Adunăm cele două numere: $a+b=(2021-\sqrt{2})+(2021+\sqrt{2})$, iar termenii $-\sqrt{2}$ și $+\sqrt{2}$ se reduc.
2. Obținem $a+b=2\cdot 2021=4042$.
3. Calculăm media aritmetică: $m_a=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{4042}{2}=2021$.

Răspuns: $m_a=2021$

1. Punctul $A(1,m)$ aparține graficului lui $f$ înseamnă $f(1)=m$.
2. Calculăm $f(1)=1^2-3\cdot 1+1=1-3+1$.
3. Adunăm termenii numerici și obținem $m=-1$.

Răspuns: $m=-1$

1. Cu proprietatea $\log_3 A+\log_3 B=\log_3(AB)$ scriem $\log_3\big((\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)\big)=2$, adică $\log_3(x-9)=2$.
2. Eliminăm logaritmul: $x-9=3^2=9$, deci $x=18$.
3. Verificăm condițiile de existență: $\sqrt{x}-3>0\Leftrightarrow x>9$, iar $18>9$, deci soluția este acceptată.

Răspuns: $x=18$

1. O mulțime cu $n$ elemente are exact $2^n$ submulțimi.
2. Punem condiția $2^n=16$, adică $2^n=2^4$.
3. Egalând exponenții obținem $n=4$.

Răspuns: $n=4$

1. Calculăm vectorii cu origine în $M$: $\overrightarrow{MN}=(8-3,3-0)=(5,3)$ și $\overrightarrow{MP}=(6-3,3-0)=(3,3)$.
2. Adunăm: $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=(5+3,3+3)=(8,6)$.
3. Cum $\overrightarrow{MQ}=(x_Q-3,\,y_Q-0)$, rezultă $x_Q=3+8=11$ și $y_Q=0+6=6$.

Răspuns: $Q(11,6)$

1. Folosim $\sin 2A=2\sin A\cos A$, deci relația devine $2\sin A\cos A\cdot\cos A=\sin A$, adică $2\sin A\cos^2 A=\sin A$.
2. Triunghiul fiind ascuțitunghic, $\sin A>0$; împărțim cu $\sin A$ și obținem $2\cos^2 A=1$, deci $\cos^2 A=\dfrac{1}{2}$.
3. Cum $\cos A>0$ (unghi ascuțit), rezultă $\cos A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, valoare ce corespunde unghiului $A=\dfrac{\pi}{4}$.

Răspuns: $A=\dfrac{\pi}{4}$

1. Pentru $a=1$ avem $\log_2 1=0$, deci $1+\log_2 1=1$ și matricea devine $A(1)=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix}$.
2. Aplicând regula lui Sarrus, singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală: $1+0+0-0-0-0$.
3. Rezultă $\det(A(1))=1\cdot 1\cdot 1=1$.

Răspuns: $\det(A(1))=1$

1. Matricea $A(a)$ este triunghiulară (elementele $a_{12}$ și $a_{32}$ sunt nule), deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală: $\det(A(a))=1\cdot a\cdot 1=a$.
2. O matrice este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul, deci condiția este $a\neq 0$.
3. Cum $a\in(0,+\infty)$, avem $a>0$, deci $a\neq 0$ pentru orice valoare admisă; matricea $A(a)$ este inversabilă.

Răspuns: $A(a)$ este inversabilă pentru orice $a\in(0,+\infty)$, deoarece $\det(A(a))=a\neq 0$

1. Inversa lui $A(a)$ este $\big(A(a)\big)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a} & 0 \\ -1-\log_2 a & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (diagonală inversată, element subdiagonal cu semn schimbat).
2. Adunând cele două matrice obținem o matrice triunghiulară cu diagonala $\left(2,\,a+\dfrac{1}{a},\,2\right)$ și elementul $(3,1)$ egal cu $0$, deci $\det\big(A(a)+\big(A(a)\big)^{-1}\big)=2\cdot\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\cdot 2=4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)$.
3. Din inegalitatea mediilor, $a+\dfrac{1}{a}\ge 2$ pentru orice $a>0$, deci $4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\ge 4\cdot 2=8$.

Răspuns: $\det\big(A(a)+\big(A(a)\big)^{-1}\big)=4\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\ge 8$

1. Pentru $m=1$ avem $m(m+1)=1\cdot 2=2$, deci legea devine $x\circ y=xy-(x+y)+2$.
2. Înlocuim $x=y=2$: termenii sunt $2\cdot 2=4$, $-(2+2)=-4$ și $+2$.
3. Adunăm: $2\circ 2=4-4+2=2$.

Răspuns: $2\circ 2=2$

1. Din $2\circ 1=2-m(2+1)+m(m+1)=m^2-2m+2$ și condiția $2\circ 1=5$ obținem $m^2-2m+2=5$, adică $m^2-2m-3=0$.
2. Ecuația $m^2-2m-3=0$ are soluțiile $m=3$ și $m=-1$; cum $m\in(0,+\infty)$, reținem $m=3$.
3. Calculăm $2\circ 5=2\cdot 5-3(2+5)+3\cdot 4=10-21+12=1$.

Răspuns: $2\circ 5=1$

1. Dezvoltăm legea: $(mx^3)\circ(-mx^2)=-m^2x^5-m\big(mx^3-mx^2\big)+m(m+1)$; impunând egalitatea cu $m$ și grupând după puterile lui $m$, termenii liniari în $m$ se reduc și rămâne $m^2(x^5+x^3-x^2-1)=0$.
2. Cum $m\in(0,+\infty)$, avem $m^2\neq 0$, deci $x^5+x^3-x^2-1=0$.
3. Factorizăm: $x^5+x^3-x^2-1=x^3(x^2+1)-(x^2+1)=(x^2+1)(x^3-1)$; cum $x^2+1>0$ pe $\mathbb{R}$, rămâne $x^3-1=0$, deci $x=1$.

Răspuns: $x=1$

1. Derivăm termen cu termen: $(x^4)'=4x^3$, $(-2)'=0$ și $(-4\ln x)'=-\dfrac{4}{x}$, deci $f'(x)=4x^3-\dfrac{4}{x}$.
2. Aducem la același numitor: $f'(x)=\dfrac{4x^4-4}{x}=\dfrac{4(x^4-1)}{x}$.
3. Factorizăm numărătorul: $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$, deci $f'(x)=\dfrac{4(x^2+1)(x+1)(x-1)}{x}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{4(x^2+1)(x+1)(x-1)}{x}$

1. Pe $(0,+\infty)$ factorii $x$, $x^2+1$ și $x+1$ sunt strict pozitivi, deci semnul lui $f'(x)$ este dat de factorul $x-1$; ecuația $f'(x)=0$ are unica soluție $x=1$.
2. Pentru $x\in(0,1)$ avem $x-1<0$, deci $f'(x)<0$ și $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$.
3. Pentru $x\in(1,+\infty)$ avem $x-1>0$, deci $f'(x)>0$ și $f$ este crescătoare pe $[1,+\infty)$.

Răspuns: $f$ descrescătoare pe $(0,1]$ și crescătoare pe $[1,+\infty)$

1. La capete: $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=+\infty$ (domină $-4\ln x$) și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ (domină $x^4$).
2. Minimul absolut este în $x=1$: $f(1)=1-2-4\ln 1=1-2-0=-1<0$.
3. Pe ramura descrescătoare $(0,1]$, $f$ trece de la $+\infty$ la $-1$, iar pe ramura crescătoare $[1,+\infty)$ de la $-1$ la $+\infty$; fiind continuă și strict monotonă pe fiecare, intersectează axa $Ox$ exact o dată pe fiecare ramură, deci ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții distincte.

Răspuns: Ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții distincte în $(0,+\infty)$ (deoarece $f(1)=-1<0$, iar limitele la capete sunt $+\infty$)

1. Înmulțim: $(x^4+1)f(x)=(x^4+1)\left(1+\dfrac{2x}{x^4+1}\right)=x^4+1+2x$.
2. O primitivă este $\dfrac{x^5}{5}+x+x^2$; aplicăm formula Leibniz-Newton pe $[0,1]$, iar valoarea în $x=0$ este $0$.
3. Înlocuim $x=1$: $\dfrac{1}{5}+1+1=\dfrac{1+5+5}{5}=\dfrac{11}{5}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 (x^4+1)f(x)\,dx=\dfrac{11}{5}$

1. Panta asimptotei oblice spre $+\infty$ este $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{F(x)}{x}$; aplicând regula lui l'Hôpital ($\dfrac{\infty}{\infty}$) și folosind $F'=f$, aceasta egalează $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
2. Calculăm $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{2x}{x^4+1}\right)$; cum $x^4$ domină $2x$, fracția tinde la $0$.
3. Rezultă panta $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1+0=1$.

Răspuns: Panta asimptotei oblice este $1$

1. Aflăm primitiva cu $G(0)=0$: $G(x)=\displaystyle\int_0^x\left(1+\dfrac{2t}{t^4+1}\right)dt=x+\operatorname{arctg}(x^2)$ (substituția $u=t^2$ dă $\operatorname{arctg}(x^2)$).
2. Scriem $\displaystyle\int_0^1 xG(x)\,dx=\int_0^1 x^2\,dx+\int_0^1 x\operatorname{arctg}(x^2)\,dx$, cu $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac{1}{3}$.
3. Integrăm prin părți a doua integrală ($v=\dfrac{x^2}{2}$): $\displaystyle\int_0^1 x\operatorname{arctg}(x^2)\,dx=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}(x^2)\Big|_0^1-\int_0^1\dfrac{x^3}{x^4+1}\,dx=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}\ln 2$.
4. Adunând, $\displaystyle\int_0^1 xG(x)\,dx=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}\ln 2$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 xG(x)\,dx=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{1}{4}\ln 2$