Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2021

1. Dezvoltăm pătratul: $(1+i)^2=1+2i+i^2$, iar $-2(1+i)=-2-2i$.
2. Adunăm totul: $1+2i+i^2-2-2i+2$, unde termenii $2i$ și $-2i$ se reduc.
3. Folosim $i^2=-1$ și obținem $1+i^2=1-1=0$, restul termenilor $-2+2$ se anulează.

Răspuns: $(1+i)^2-2(1+i)+2=0$

1. Punctul $M(1,2)$ aparține graficului dacă $f(1)=2$.
2. Calculăm $f(1)=1^2+a\cdot 1-5=a-4$, deci ecuația devine $a-4=2$.
3. Rezolvăm și găsim $a=6$.

Răspuns: $a=6$

1. Condițiile de existență cer $x>0$ și $x+1>0$, deci $x>0$.
2. Aplicăm $\log_4 x+\log_4(x+1)=\log_4\bigl(x(x+1)\bigr)$ și egalăm argumentele: $x^2+1=x(x+1)=x^2+x$.
3. Reducem $x^2$ din ambii membri și obținem $x=1$, valoare care respectă $x>0$.

Răspuns: $x=1$

1. Numerele naturale de două cifre sunt $10, 11, \ldots, 99$, deci avem $90$ de cazuri posibile.
2. Un număr divizibil simultan cu $2$ și cu $5$ este divizibil cu $10$: acestea sunt $10, 20, \ldots, 90$, adică $9$ cazuri favorabile.
3. Calculăm $p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}$.

Răspuns: $p=\dfrac{1}{10}$

1. Calculăm panta dreptei $MN$: $m_{MN}=\dfrac{y_M-y_N}{x_M-x_N}=\dfrac{4-1}{3-0}=1$.
2. Dreapta $d$ este paralelă cu $MN$, deci are aceeași pantă: $m_d=1$.
3. Scriem ecuația prin $P(3,0)$: $y-0=1\cdot(x-3)$, adică $y=x-3$.

Răspuns: $y=x-3$

1. În triunghiul dreptunghic în $C$, pentru unghiul $A$ cateta opusă este $BC$ și cea alăturată este $AC$, deci $\operatorname{tg} A=\dfrac{BC}{AC}$.
2. Pentru unghiul $B$ catetele își schimbă rolurile: cateta opusă este $AC$, iar cea alăturată este $BC$, deci $\operatorname{tg} B=\dfrac{AC}{BC}$.
3. Observăm că $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{\,BC/AC\,}=\dfrac{1}{\operatorname{tg} A}$.

Răspuns: $\operatorname{tg} B=\dfrac{1}{\operatorname{tg} A}$

1. Înlocuim $a=0$: $a+2=2$, $-a=0$, $3a=0$, $2-3a=2$, deci $A(0)=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.
2. Matricea este diagonală, deci determinantul este produsul intrărilor de pe diagonala principală: $\det(A(0))=2\cdot 2\cdot 2$.
3. Obținem $\det(A(0))=8$.

Răspuns: $\det(A(0))=8$

1. Scădem $2I_3$ din $A(a)$ pe componente, adică scădem $2$ din intrările diagonale: $a+2-2=a$, $2-2=0$, $2-3a-2=-3a$, deci $A(a)-2I_3=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 0 & 0 \\ 3a & 0 & -3a \end{pmatrix}$.
2. Din $aB=A(a)-2I_3$ dăm factor pe $a$: $A(a)-2I_3=a\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$.
3. Cum egalitatea are loc pentru orice $a$ real, identificăm $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$.

Răspuns: $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

1. Calculăm determinantul dezvoltând după linia a doua: $\det A(a)=8(1-a)$, deci $\det A(n)=8(1-n)$ și $\det A(-n)=8(1+n)$.
2. Cu $\det(A(n)\cdot A(-n))=\det A(n)\cdot\det A(-n)=8(1-n)\cdot 8(1+n)$, determinantul produsului se reduce la forma polinomială $64(1-n^2)$.
3. Impunem $64(1-n^2)>0 \Leftrightarrow n^2<1$; pe $\mathbb{N}$ singura valoare este $n=0$.

Răspuns: $n=0$

1. Înlocuim $x=2$ și $y=0$ în lege: $2*0=\dfrac{1}{2}(2+0+|2-0|)$.
2. Evaluăm modulul $|2-0|=2$, deci $2*0=\dfrac{1}{2}(2+2)$.
3. Calculăm $\dfrac{1}{2}\cdot 4=2$.

Răspuns: $2*0=2$

1. Cum $a\le b$, avem $a-b\le 0$, deci $|a-b|=-(a-b)=b-a$.
2. Substituim în lege: $a*b=\dfrac{1}{2}\bigl(a+b+(b-a)\bigr)=\dfrac{1}{2}\cdot 2b$.
3. Simplificăm și obținem $a*b=b$.

Răspuns: $a*b=b$

1. Cum $x^2+1-2x=(x-1)^2\ge 0$ și $x^2+1+2x=(x+1)^2\ge 0$, avem $x^2+1\ge 2x$ și $x^2+1\ge -2x$ pentru orice $x$ real.
2. Folosind regula $u\le v\Rightarrow u*v=v$ de la punctul b, expresia $(2x)*(x^2+1)*(-2x)$ se reduce la cel mai mare dintre numere, adică $x^2+1$.
3. Rezolvăm $x^2+1=10 \Leftrightarrow x^2=9$, deci $x\in\{-3,3\}$.

Răspuns: $S=\{-3,3\}$

1. Derivăm radicalul cu regula compunerii $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, cu $u=x^2+3$: $\bigl(\sqrt{x^2+3}\bigr)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$.
2. Atunci $f'(x)=(x)'-\bigl(\sqrt{x^2+3}\bigr)'=1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$.
3. Aducem la același numitor: $f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$

1. Amplificăm cu conjugata: $x-\sqrt{x^2+3}=\dfrac{x^2-(x^2+3)}{x+\sqrt{x^2+3}}=\dfrac{-3}{x+\sqrt{x^2+3}}$.
2. Pentru $x\to+\infty$ numitorul tinde la $+\infty$, deci $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
3. Limita finită $\ell=0$ dă asimptota orizontală $y=0$.

Răspuns: $y=0$

1. Numitorul $\sqrt{x^2+3}>0$, iar numărătorul $\sqrt{x^2+3}-x>0$ deoarece $\sqrt{x^2+3}>|x|\ge x$, deci $f'(x)>0$ pe $\mathbb{R}$: $f$ este strict crescătoare.
2. Calculăm limitele la capete: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
3. Fiind continuă și strict crescătoare, imaginea lui $f$ este intervalul deschis $(-\infty,0)$; ecuația $f(x)=a$ are soluție exact pentru $a$ din această mulțime.

Răspuns: $a\in(-\infty,0)$

1. Simplificăm produsul: $(x^2+x+3)\cdot f(x)=(x^2+x+3)\cdot\dfrac{x}{x^2+x+3}=x$.
2. Integrala devine $\displaystyle\int_0^2 x\,dx$, cu primitiva $\dfrac{x^2}{2}$.
3. Aplicăm Leibniz–Newton: $\left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^2=\dfrac{4}{2}-0=2$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^2 (x^2+x+3)f(x)\,dx=2$

1. Simplificăm cu $x$: $g(x)=\dfrac{2x+1}{x}\cdot\dfrac{x}{x^2+x+3}=\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}$.
2. Cum $(x^2+x+3)'=2x+1$, recunoaștem forma $\dfrac{u'}{u}$, cu primitiva $\ln(x^2+x+3)$.
3. Evaluăm: $\ln(2^2+2+3)-\ln(1^2+1+3)=\ln 9-\ln 5=\ln\dfrac{9}{5}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^2 g(x)\,dx=\ln\dfrac{9}{5}$

1. Pentru $x>0$ avem $x^2+x+3\ge 2x$, deoarece $x^2-x+3\ge 0$ (discriminant negativ), deci $0\le f(x)=\dfrac{x}{x^2+x+3}\le\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$.
2. Atunci $0\le f^n(x)\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ pe $[a,b]$, iar prin integrare $0\le I_n\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n(b-a)$.
3. Cum $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n(b-a)\to 0$, din criteriul cleștelui rezultă $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$