Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Subiect Model 2022

1. Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul extremilor: $b^2=ac.$
2. Calculăm produsul extremilor: $(6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3(4-3)=3.$
3. Calculăm pătratul termenului din mijloc: $(\sqrt{3})^2=3.$
4. Cum $b^2=3=ac,$ relația $b^2=ac$ este verificată, deci numerele sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Răspuns: $(\sqrt{3})^2=(6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=3,$ deci numerele sunt în progresie geometrică.

1. Axa $Ox$ este tangentă graficului parabolei dacă și numai dacă ecuația $f(x)=0$ are o rădăcină dublă, adică $\Delta=0.$
2. Pentru $f(x)=x^2+mx+1$ avem $\Delta=m^2-4\cdot 1\cdot 1=m^2-4.$
3. Punem condiția $\Delta=0\Leftrightarrow m^2-4=0\Leftrightarrow m^2=4.$
4. Rezolvăm și obținem $m=-2$ sau $m=2.$

Răspuns: $m\in\{-2,\ 2\}$

1. Scriem $5^{x+2}=25\cdot 5^x,$ deci ecuația devine $25\cdot 5^x-5^x=24.$
2. Scoatem factor comun $5^x$: $5^x(25-1)=24,$ adică $24\cdot 5^x=24.$
3. Împărțim la $24$ și obținem $5^x=1.$
4. Cum $5^0=1,$ rezultă $x=0.$

Răspuns: $S=\{0\}$

1. Numărăm cazurile posibile: cifra zecilor are $9$ posibilități (de la $1$ la $9$), iar cifra unităților trebuie să fie diferită de cea a zecilor, deci $9$ posibilități; total $9\cdot 9=81.$
2. Numărăm cazurile favorabile: cifra zecilor trebuie să fie multiplu de $3,$ adică din $\{3,6,9\}$ — $3$ posibilități; pentru fiecare, $9$ posibilități pentru cifra unităților, deci $3\cdot 9=27.$
3. Aplicăm definiția probabilității: $P=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{27}{81}.$
4. Simplificăm fracția: $\dfrac{27}{81}=\dfrac{1}{3}.$

Răspuns: $P=\dfrac{1}{3}$

1. Înlocuim $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}$ în relația dată: $\overrightarrow{MA}+2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$
2. Grupăm termenii: $3\,\overrightarrow{MA}+3\,\overrightarrow{MC}+2\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}.$
3. Cum $D$ este mijlocul lui $AC,$ avem $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\,\overrightarrow{MD},$ deci $3\cdot 2\,\overrightarrow{MD}+2\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0},$ adică $6\,\overrightarrow{MD}+2\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}.$
4. Rezolvăm în $\overrightarrow{MD}$: $\overrightarrow{MD}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}.$ Vectorii $\overrightarrow{MD}$ și $\overrightarrow{AB}$ sunt coliniari, deci dreptele $MD$ și $AB$ sunt paralele.

Răspuns: $\overrightarrow{MD}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB},$ deci $MD\parallel AB.$

1. Suma măsurilor unghiurilor fiind $180^\circ,$ avem $\widehat{C}=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ,$ deci triunghiul este dreptunghic în $C.$
2. Aplicăm teorema sinusurilor: $\dfrac{AC}{\sin\widehat{B}}=\dfrac{AB}{\sin\widehat{C}},$ deci $AB=\dfrac{AC\cdot\sin\widehat{C}}{\sin\widehat{B}}.$
3. Înlocuim $AC=3,$ $\sin\widehat{C}=\sin 90^\circ=1$ și $\sin\widehat{B}=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $AB=\dfrac{3\cdot 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}.$
4. Raționalizăm: $AB=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.$

Răspuns: $AB=2\sqrt{3}$

1. Dezvoltăm $\det B$ după prima linie, cu semnele $(+,-,+)$: $\det B=1\cdot\det\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}-0+1\cdot\det\begin{pmatrix} 0 & i \\ -2 & 0 \end{pmatrix}.$
2. Calculăm minorii: $\det\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=i\cdot(-1)-0=-i$ și $\det\begin{pmatrix} 0 & i \\ -2 & 0 \end{pmatrix}=0-i\cdot(-2)=2i.$
3. Adunăm termenii: $\det B=-i+0+2i=i.$

Răspuns: $\det B=i$

1. Pentru $z_1=a+ib$ și $z_2=c+id,$ dezvoltăm produsul prin distributivitate: $(aI_3+bB)(cI_3+dB)=acI_3+adB+bcB+bdB^2.$
2. Calculăm $B^2$ și obținem $B^2=-I_3,$ deci produsul devine $acI_3+(ad+bc)B-bdI_3=(ac-bd)I_3+(ad+bc)B.$
3. Pe de altă parte, $z_1 z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i,$ deci $A(z_1 z_2)=(ac-bd)I_3+(ad+bc)B.$
4. Cele două expresii coincid, deci $A(z_1)\cdot A(z_2)=A(z_1 z_2).$

Răspuns: $A(z_1)\cdot A(z_2)=A(z_1 z_2)$ pentru orice $z_1,z_2\in\mathbb{C}.$

1. Grupăm factorii în perechi conjugate și aplicăm proprietatea de la (b): $(1+i)(1-i)=1-i^2=2,$ $(2+i)(2-i)=4-i^2=5,$ $(3+i)(3-i)=9-i^2=10.$
2. Produsul devine astfel $A(2)\cdot A(5)\cdot A(10).$
3. Aplicăm încă o dată proprietatea: $A(2)\cdot A(5)\cdot A(10)=A(2\cdot 5\cdot 10)=A(100).$
4. Cum $100$ este număr real, $A(100)=100\,I_3,$ deci $n=100.$

Răspuns: $n=100$

1. Dezvoltăm produsul: $(2^x-2)(2^y-2)=2^x\cdot 2^y-2\cdot 2^x-2\cdot 2^y+4=2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+4.$
2. Adunăm $2$: $(2^x-2)(2^y-2)+2=2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+4+2=2^{x+y}-2^{x+1}-2^{y+1}+6.$
3. Recunoaștem argumentul logaritmului din definiția lui $x*y,$ deci $x*y=\log_2\left((2^x-2)(2^y-2)+2\right).$

Răspuns: $x*y=\log_2\left((2^x-2)(2^y-2)+2\right)$

1. Folosim forma factorizată: $x*e=\log_2\left((2^x-2)(2^e-2)+2\right).$ Condiția $x*e=x$ pentru orice $x\in M$ se scrie $(2^x-2)(2^e-2)+2=2^x.$
2. Scădem $2$: $(2^x-2)(2^e-2)=2^x-2.$
3. Pentru ca egalitatea să fie identitate în $x$ (cu $2^x-2$ care nu este mereu $0$), trebuie ca $2^e-2=1,$ adică $2^e=3.$
4. Rezultă $e=\log_2 3,$ care aparține lui $M=[1,+\infty)$ deoarece $\log_2 3>1.$

Răspuns: $e=\log_2 3$

1. Aplicăm de două ori forma factorizată de la (a): $x*x=\log_2\left((2^x-2)^2+2\right),$ apoi $x*x*x=\log_2\left((2^x-2)^3+2\right).$
2. Inegalitatea $x*x*x<3x$ se scrie $\log_2\left((2^x-2)^3+2\right)<\log_2 2^{3x},$ deci este echivalentă cu $\dfrac{(2^x-2)^3+2}{2^{3x}}<1.$
3. Dezvoltăm cubul $(2^x-2)^3=2^{3x}-3\cdot 2^{2x}\cdot 2+3\cdot 2^x\cdot 4-8,$ adunăm $2,$ împărțim la $2^{3x}$ și grupăm: $\dfrac{(2^x-2)^3+2}{2^{3x}}=1-\dfrac{6(2^x-1)^2}{2^{3x}}.$
4. Cum $(2^x-1)^2>0$ pentru $x\ge 1,$ raportul scăzut este strict pozitiv, deci expresia este $<1.$ Prin urmare $x*x*x<3x$ pentru orice $x\in M.$

Răspuns: $x*x*x<3x$ pentru orice $x\in M.$

1. Aplicăm regula produsului cu $u=x^3+3x+1$ și $v=e^{-x}$: $u'=3x^2+3$ și $v'=-e^{-x}.$ Obținem $f'(x)=(3x^2+3)e^{-x}-(x^3+3x+1)e^{-x}.$
2. Scoatem factor comun $e^{-x}$: $f'(x)=\left(3x^2+3-x^3-3x-1\right)e^{-x}=\left(-x^3+3x^2-3x+2\right)e^{-x}.$
3. Factorizăm polinomul, care are rădăcina $x=2$: $-x^3+3x^2-3x+2=(2-x)(x^2-x+1).$
4. Prin urmare $f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}.$

Răspuns: $f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}$

1. Scoatem $e^{-x}$ factor comun: $f(x)\pm e^{-x}=(x^3+3x+1\pm 1)e^{-x},$ deci $\dfrac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}=\dfrac{x^3+3x}{x^3+3x+2}.$
2. Scriem baza ca $1+u$ cu $u=\dfrac{-2}{x^3+3x+2}\to 0,$ iar exponentul este $f(x)\cdot e^x=x^3+3x+1.$
3. Folosind limita fundamentală $(1+u)^{1/u}\to e,$ exponentul efectiv este $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2(x^3+3x+1)}{x^3+3x+2}=-2$ (raportul coeficienților dominanți).
4. Prin urmare limita căutată este $e^{-2}.$

Răspuns: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{f(x)-e^{-x}}{f(x)+e^{-x}}\right)^{f(x)\cdot e^x}=e^{-2}$

1. Simplificăm $\dfrac{f(x)}{e^{-x}}=x^3+3x+1,$ deci $g(x)=\left|(x^3+3x+1)-1\right|=|x^3+3x|.$
2. Cum $x^3+3x=x(x^2+3)$ are același semn ca $x,$ avem $g(x)=-x^3-3x$ pe $(-\infty,0)$ și $g(x)=x^3+3x$ pe $(0,+\infty).$
3. Derivăm pe fiecare ramură: pe $(-\infty,0),$ $g'(x)=-3x^2-3<0,$ deci $g$ este strict descrescătoare; pe $(0,+\infty),$ $g'(x)=3x^2+3>0,$ deci $g$ este strict crescătoare.
4. Monotonia se schimbă doar în $x=0,$ unde $g$ trece de la descrescător la crescător; deci $x=0$ este singurul punct de extrem (minim).

Răspuns: $g$ are un singur punct de extrem, $x=0$ (punct de minim).

1. Cum $f(x)=x\ln(x-1)$ și pe $(4,6)$ avem $\ln(x-1)>0,$ simplificăm: $\dfrac{f(x)}{\ln(x-1)}=x.$
2. Integrala devine $\displaystyle\int_4^6 x\,dx,$ cu primitiva $\dfrac{x^2}{2}.$
3. Aplicăm Newton–Leibniz: $\dfrac{x^2}{2}\Big|_4^6=\dfrac{6^2}{2}-\dfrac{4^2}{2}=18-8=10.$

Răspuns: $\displaystyle\int_4^6\dfrac{f(x)}{\ln(x-1)}\,dx=10$

1. Pentru orice primitivă $F$ a lui $f,$ avem $F'(x)=f(x)=x\ln(x-1).$ Pe $(2,+\infty),$ $x>0$ și $\ln(x-1)>0,$ deci $F'(x)>0$ și $F$ este strict crescătoare.
2. Comparăm numerele: $\sqrt{7}^2=7$ este între $2^2=4$ și $3^2=9,$ deci $2<\sqrt{7}<3.$
3. În particular $\sqrt{7}$ și $3$ aparțin intervalului $(2,+\infty)$ și $\sqrt{7}<3.$
4. Cum $F$ este strict crescătoare pe acest interval, din $\sqrt{7}<3$ rezultă $F(\sqrt{7})<F(3).$

Răspuns: $F(\sqrt{7})<F(3)$ pentru orice primitivă $F$ a lui $f.$

1. Integrăm prin părți cu $u=\ln(x-1),$ $dv=x\,dx,$ alegând primitiva $v=\dfrac{x^2-1}{2}$ pentru ca derivata logaritmului să se simplifice: $\dfrac{x^2-1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x+1}{2}.$
2. Obținem $\displaystyle\int_3^5 x\ln(x-1)\,dx=\left.\dfrac{x^2-1}{2}\ln(x-1)\right|_3^5-\int_3^5\dfrac{x+1}{2}\,dx.$
3. Calculăm termenul cu logaritm: $\dfrac{24}{2}\ln 4-\dfrac{8}{2}\ln 2=12\cdot 2\ln 2-4\ln 2=20\ln 2;$ termenul rămas: $\int_3^5\dfrac{x+1}{2}\,dx=\left.\dfrac{(x+1)^2}{4}\right|_3^5=9-4=5.$
4. Deci integrala este $20\ln 2-5=5(4\ln 2-1).$ Identificând cu $m(4\ln 2-1),$ rezultă $m=5.$

Răspuns: $m=5$