Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Simulare 2022

1. Calculăm cei doi factori: $z_1+i=(1-2i)+i=1-i$, iar $z_2-1=(2+i)-1=1+i.$
2. Înmulțim numerele complexe conjugate: $(1-i)(1+i)=1^2-i^2=1-(-1)=1+1.$
3. Obținem $(z_1+i)(z_2-1)=2$, ceea ce trebuia arătat.

Răspuns: $(z_1+i)(z_2-1)=2$

1. Calculăm discriminantul: $\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot m=16-4m.$
2. Coeficientul lui $x^2$ este $a=1>0$, deci $f(x)>0$ pentru orice $x\in\mathbb{R}$ exact când $\Delta<0.$
3. Rezolvăm $16-4m<0\Leftrightarrow m>4$, deci $m\in(4,+\infty).$

Răspuns: $m\in(4,+\infty)$

1. Punem condiția de existență $x-2>0$, adică $x>2.$
2. Folosim $2\log_2\sqrt{x-2}=\log_2(x-2)$ și $1=\log_2 2$, deci ecuația devine $\log_2\bigl(2(x-2)\bigr)=\log_2 x.$
3. Egalând argumentele: $2(x-2)=x\Leftrightarrow 2x-4=x\Leftrightarrow x=4.$
4. Verificăm $4>2$, deci soluția este acceptată.

Răspuns: $x=4$

1. Numerele naturale de două cifre sunt $\{10,11,\ldots,99\}$, deci numărul cazurilor posibile este $99-10+1=90.$
2. Un număr $n$ are exact doi multipli în $A$ (adică $2n$ și $3n$) dacă $2n\le 99$ și $3n>99$, adică $33<n\le 49{,}5.$
3. Valorile întregi sunt $n\in\{34,35,\ldots,49\}$, deci $49-34+1=16$ cazuri favorabile.
4. Probabilitatea cerută este $\dfrac{16}{90}=\dfrac{8}{45}.$

Răspuns: $P=\dfrac{8}{45}$

1. În paralelogramul $ABMN$, diagonalele sunt $AM$ și $BN$, iar ele se înjumătățesc, deci au același mijloc $P.$
2. Calculăm mijlocul lui $AM$: $P=\left(\dfrac{-2+2}{2},\dfrac{-2+4}{2}\right)=(0,1).$
3. $P$ este și mijlocul lui $BN$, cu $B(3,1)$, deci $x_N=2\cdot 0-3=-3$ și $y_N=2\cdot 1-1=1.$

Răspuns: $N(-3,1)$

1. Din $A+B+C=\pi$ avem $A+B=\pi-C$, deci $\sin(A+B)=\sin(\pi-C)=\sin C.$
2. Relația dată devine $\sin C+\cos C=1.$ Ridicăm la pătrat: $\sin^2 C+\cos^2 C+2\sin C\cos C=1.$
3. Cu $\sin^2 C+\cos^2 C=1$ și $2\sin C\cos C=\sin 2C$ obținem $1+\sin 2C=1$, adică $\sin 2C=0.$
4. Cum $C\in(0,\pi)$, deci $2C\in(0,2\pi)$, rezultă $2C=\pi$, adică $C=\dfrac{\pi}{2}$, deci triunghiul este dreptunghic.

Răspuns: Triunghiul $ABC$ este dreptunghic ($C=\dfrac{\pi}{2}$).

1. Aplicăm regula lui Sarrus pentru $A(1)=\begin{pmatrix}1&3&1\\2&1&-1\\1&3&1\end{pmatrix}.$
2. Suma diagonalelor descendente: $1\cdot 1\cdot 1+3\cdot(-1)\cdot 1+1\cdot 2\cdot 3=1-3+6=4.$
3. Suma diagonalelor ascendente: $1\cdot 1\cdot 1+3\cdot 2\cdot 1+1\cdot(-1)\cdot 3=1+6-3=4.$
4. Astfel $\det(A(1))=4-4=0.$

Răspuns: $\det(A(1))=0$

1. Scădem element cu element: $B(a)=A(a)-A(0)=\begin{pmatrix}0&0&a\\0&0&0\\a&0&0\end{pmatrix}.$
2. Calculăm $B(a)\cdot B(a)=\begin{pmatrix}a^2&0&0\\0&0&0\\0&0&a^2\end{pmatrix}.$
3. Înmulțim încă o dată: $B(a)^3=B(a)^2\cdot B(a)=\begin{pmatrix}0&0&a^3\\0&0&0\\a^3&0&0\end{pmatrix}.$
4. Cum $B(1)=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$, rezultă $B(a)^3=a^3 B(1)$ pentru orice $a\in\mathbb{R}.$

Răspuns: $B(a)^3=a^3 B(1)$

1. Sistemul are o infinitate de soluții doar dacă $\det(A(a))=0$; testând rangul matricei extinse (Kronecker-Capelli) pentru rădăcini, se obține $a=2.$
2. Pentru $a=2$ notăm $z_0=\alpha$ și exprimăm celelalte necunoscute: soluția generală este $(x_0,y_0,z_0)=(\alpha-1,\,-\alpha+1,\,\alpha).$
3. Calculăm $x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0=(\alpha-1)(-(\alpha-1))+(-(\alpha-1))\alpha+\alpha(\alpha-1)=-(\alpha-1)^2.$
4. Cum $-(\alpha-1)^2\le 0$ pentru orice $\alpha\in\mathbb{R}$, inegalitatea cerută este demonstrată.

Răspuns: $x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0=-(\alpha-1)^2\le 0$

1. Înlocuim $z_1=-1$ și $z_2=2$ în lege: $(-1)*2=\dfrac{-1+2}{4\cdot|-1\cdot 2|+1}.$
2. Calculăm numitorul: $|-1\cdot 2|=|-2|=2$, deci $4\cdot 2+1=9.$
3. Numărătorul este $-1+2=1$, deci $(-1)*2=\dfrac{1}{9}.$

Răspuns: $(-1)*2=\dfrac{1}{9}$

1. Înlocuim $z_2=0$ în lege: $z*0=\dfrac{z+0}{4\cdot|z\cdot 0|+1}.$
2. Cum $z\cdot 0=0$ și $|0|=0$, numitorul este $4\cdot 0+1=1$, deci $z*0=z.$
3. Analog $0*z=\dfrac{0+z}{4\cdot|0\cdot z|+1}=z$, deci $z*0=0*z=z$ pentru orice $z$, ceea ce arată că $e=0$ este element neutru.

Răspuns: $e=0$ este elementul neutru

1. Înlocuim $z_1=z_2=z$ și folosim $|z\cdot z|=|z|^2$: $z*z=\dfrac{2z}{4|z|^2+1}.$
2. Trecem la modul: $|z*z|=\dfrac{2|z|}{4|z|^2+1}$, iar egalitatea $|z*z|=|z|$ devine $\dfrac{2|z|}{4|z|^2+1}=|z|.$
3. Pentru $z\ne 0$ împărțim la $|z|$ și obținem $4|z|^2+1=2$, adică $|z|^2=\dfrac{1}{4}$, deci $|z|=\dfrac{1}{2}.$
4. Toate numerele complexe cu $|z|=\dfrac{1}{2}$ verifică egalitatea (de exemplu $\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{i}{2}$), deci există cel puțin trei numere distincte și nenule.

Răspuns: $|z|=\dfrac{1}{2}$ — o infinitate de soluții, deci cel puțin trei distincte și nenule

1. Derivăm radicalul: $\bigl(\sqrt{x^4+16}\bigr)'=\dfrac{4x^3}{2\sqrt{x^4+16}}=\dfrac{2x^3}{\sqrt{x^4+16}}.$
2. Aplicăm regula câtului: $f'(x)=\dfrac{\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+16}}\cdot x-\sqrt{x^4+16}\cdot 1}{x^2}=\dfrac{2x^4-(x^4+16)}{x^2\sqrt{x^4+16}}.$
3. Numărătorul se reduce la $2x^4-x^4-16=x^4-16=(x^2-4)(x^2+4).$
4. Așadar $f'(x)=\dfrac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}$, pentru $x\in(0,+\infty).$

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}$

1. Calculăm panta: $m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\dfrac{16}{x^4}}=1.$
2. Calculăm ordonata: $n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-x\bigr)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^4+16}-x^2}{x}.$
3. Amplificăm cu $\sqrt{x^4+16}+x^2$: $n=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{16}{x\bigl(\sqrt{x^4+16}+x^2\bigr)}=0.$
4. Deci asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=mx+n=x.$

Răspuns: $y=x$

1. Calculăm $f\left(\dfrac{4}{x}\right)=\dfrac{\sqrt{(4/x)^4+16}}{4/x}=\dfrac{x}{4}\cdot\dfrac{4\sqrt{x^4+16}}{x^2}=\dfrac{\sqrt{x^4+16}}{x}=f(x).$
2. Deci ecuația devine $g(x)=f(x)+f(4/x)=2f(x)=m.$
3. Din punctul (a), $f$ are minim în $x=2$, unde $g(2)=2f(2)=2\cdot\dfrac{\sqrt{32}}{2}=4\sqrt{2}$; $g$ scade pe $(0,2)$, crește pe $(2,+\infty)$ și tinde la $+\infty$ la capete.
4. Ecuația $g(x)=m$ are exact două soluții doar pentru $m$ strict mai mare ca minimul, deci $m\in(4\sqrt{2},+\infty).$

Răspuns: $m\in(4\sqrt{2},+\infty)$

1. Simplificăm integrandul: $e^x f(x)=e^x\cdot\dfrac{x^2+1}{e^x}=x^2+1.$
2. O primitivă a lui $x^2+1$ este $\dfrac{x^3}{3}+x.$
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle\int_0^3(x^2+1)\,dx=\left.\dfrac{x^3}{3}+x\right|_0^3=\dfrac{27}{3}+3-0=9+3=12.$

Răspuns: $\displaystyle\int_0^3 e^x f(x)\,dx=12$

1. Cum $G'=g$, derivăm încă o dată: $G''(x)=g'(x).$
2. Avem $g(x)=\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{e^x}{x^2+1}$; cu regula câtului obținem $g'(x)=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}.$
3. Cum $e^x>0$, $(x-1)^2\ge 0$ și $(x^2+1)^2>0$, rezultă $g'(x)\ge 0$ pentru orice $x\in\mathbb{R}.$
4. Deci $G''(x)=g'(x)\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, adică orice primitivă $G$ este convexă.

Răspuns: $G''(x)\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, deci $G$ este convexă

1. Din partea (a), $e^x f(x)=x^2+1$, deci integrandul devine $\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}.$
2. Descompunem: $\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x(x^2+1)-x}{\sqrt{x^2+1}}=x\sqrt{x^2+1}-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, cu primitivele $\dfrac{(x^2+1)^{3/2}}{3}$ și $\sqrt{x^2+1}.$
3. Evaluăm: $\left.\left(\dfrac{(x^2+1)^{3/2}}{3}-\sqrt{x^2+1}\right)\right|_0^1=\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\sqrt{2}\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{3}.$
4. Comparând cu $\dfrac{a-\sqrt{2}}{3}$ rezultă $a=2.$

Răspuns: $a=2$