pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea Specială 2022

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2022, sesiunea specială. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

  1. 1.
    Arătați că 5(1+2i)−2i(5−i)=35(1+2i)-2i(5-i)=3, unde i2=−1.i^2=-1.
  2. 2.
    Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x−3.f(x)=x^2-2x-3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=1+a2.f(a)=1+a^2.
  3. 3.
    Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x2+1)=2.\log_3(2x^2+1)=2.
  4. 4.
    Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele impare și distincte.
  5. 5.
    În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,0),A(2,0), B(1,6)B(1,6) și C(4,2).C(4,2). Determinați coordonatele punctului D,D, știind că AB→=DC→.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.
  6. 6.
    Se consideră triunghiul ABC,ABC, dreptunghic în A,A, astfel încât BC=10BC=10 și sin⁡B=2sin⁡C.\sin B=2\sin C. Arătați că lungimea laturii ABAB este egală cu 25.2\sqrt{5}.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele I3=(100010001),I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, O3=(000000000)O_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} și A(x)=(x+1−x0x1−x0001),A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x & 0 \\ x & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real.
  1. a.
    Arătați că det⁡(A(1))=1.\det(A(1))=1.
  2. b.
    Arătați că (A(x)−I3)(A(x)−I3)=O3,(A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3, pentru orice număr real x.x.
  3. c.
    Determinați numerele reale xx pentru care A(x)⋅A(x)=xA(x)−(x−1)I3.A(x)\cdot A(x)=xA(x)-(x-1)I_3.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)2−2(x−y)−3.x*y=(x+y)^2-2(x-y)-3.
  1. a.
    Arătați că 0∗2=5.0*2=5.
  2. b.
    Determinați numerele reale xx pentru care x∗(x+1)=8.x*(x+1)=8.
  3. c.
    Determinați perechile (m,n)(m,n) de numere naturale pentru care m∗n=2mn.m*n=2mn.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−5x+10)x.f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x}.
  1. a.
    Arătați că f′(x)=5(x2−3x+2)2xf'(x)=\dfrac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}, x∈(0,+∞).x\in(0,+\infty).
  2. b.
    Determinați intervalele de monotonie a funcției f.f.
  3. c.
    Arătați că lim⁡x→+∞(f(x)x2x)x/5=1e.\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{f(x)}{x^2\sqrt{x}}\right)^{x/5}=\dfrac{1}{e}.
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+ex+1ex+1.f(x)=x+e^x+\dfrac{1}{e^x+1}.
  1. a.
    Arătați că ∫02(f(x)−1ex+1)dx=e2+1.\displaystyle\int_0^2\left(f(x)-\dfrac{1}{e^x+1}\right)dx=e^2+1.
  2. b.
    Arătați că ∫−11ex(f(x)−x−ex) dx=1.\displaystyle\int_{-1}^{1} e^x\bigl(f(x)-x-e^x\bigr)\,dx=1.
  3. c.
    Determinați numărul real mm pentru care ∫01x(f(x)+f(−x)) dx=m2−2e.\displaystyle\int_0^1 x\bigl(f(x)+f(-x)\bigr)\,dx=\dfrac{m}{2}-\dfrac{2}{e}.

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-aDerivateclasa a XI-aIntegrala definităclasa a XII-aLogaritmiclasa a XI-aDeterminanțiclasa a XI-aLimite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.