Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Toamnă 2022

1. Distribuim $2i$ peste paranteză: $2i(3-i)-6i=6i-2i^2-6i$.
2. Reducem partea imaginară: $6i-6i=0$, deci rămâne $-2i^2$.
3. Folosim $i^2=-1$: $-2i^2=-2\cdot(-1)=2$.

Răspuns: $2i(3-i)-6i=2$

1. Calculăm $f(-1)=(-1)^2-m\cdot(-1)=1+m$ și $f(1)=1^2-m\cdot 1=1-m$.
2. Punem condiția $f(-1)=f(1)$: $1+m=1-m$.
3. Rezolvăm: $2m=0$, deci $m=0$.

Răspuns: $m=0$

1. Scriem ambii membri ca puteri ale lui $3$: $27=3^3$ și $9=3^2$, deci $(3^3)^{x-1}=(3^2)^x$.
2. Egalăm exponenții: $3(x-1)=2x$, adică $3x-3=2x$.
3. Rezolvăm ecuația liniară: $3x-2x=3$, deci $x=3$.

Răspuns: $x=3$

1. Cifra zecilor poate fi $1$, $2$ sau $3$ ($3$ alegeri), iar cifra unităților poate fi $0$, $1$, $2$ sau $3$ ($4$ alegeri).
2. Numărul cazurilor favorabile este $3\cdot 4=12$.
3. Numerele naturale de două cifre sunt $\{10,11,\dots,99\}$, deci $90$ de cazuri posibile.
4. Probabilitatea este $P=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}$.

Răspuns: $P=\dfrac{2}{15}$

1. Scriem $\overrightarrow{AC}=C-A$ și $2\overrightarrow{BC}=2(C-B)$; din $C-A=2(C-B)$ obținem $A+C=2B$, adică $B$ este mijlocul lui $AC$.
2. Din $\dfrac{x_C+3}{2}=1$ rezultă $x_C+3=2$, deci $x_C=-1$.
3. Din $\dfrac{y_C+2}{2}=-1$ rezultă $y_C+2=-2$, deci $y_C=-4$.

Răspuns: $C(-1,-4)$

1. Pentru $x=\dfrac{\pi}{4}$ avem $2x=\dfrac{\pi}{2}$ și $\dfrac{2x}{3}=\dfrac{\pi}{6}$, deci $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, $\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi}{4}=1$ și $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$.
2. Înlocuim în expresie: $E\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1-2\cdot 1\cdot\dfrac{1}{2}$.
3. Calculăm $2\cdot 1\cdot\dfrac{1}{2}=1$, deci $E\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1-1=0$.

Răspuns: $E\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$

1. Substituim $x=0$ în $A(x)$: $A(0)=\begin{pmatrix} 0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix}$.
2. Aplicăm regula lui Sarrus: termenii pozitivi sunt $0\cdot 0\cdot 0+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1$, iar cei negativi $0+0+0$.
3. Obținem $\det(A(0))=0+1+1-0-0-0=2$.

Răspuns: $\det(A(0))=2$

1. Cu $A(1)=\begin{pmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix}$, înmulțim rând cu coloană: $A(1)\cdot A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & 2-x & 1 \\ 2-x & x+1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
2. Înlocuim $x$ cu $x-1$ în formula generală (și $1-(x-1)=2-x$): $A(x-1)=\begin{pmatrix} x-1 & 2-x & 1 \\ 2-x & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
3. Scădem termen cu termen: $A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=\begin{pmatrix} 2&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}=2I_3$.

Răspuns: $A(1)\cdot A(x)-A(x-1)=2I_3$

1. Din b) avem identitatea $A(1)\cdot A(y)=A(y-1)+2I_3$. O aplicăm pe $A(1)\cdot A(x)=A(x-1)+2I_3$.
2. Înmulțim din nou cu $A(1)$: $A(1)\cdot A(1)\cdot A(x)=A(1)\cdot A(x-1)+2A(1)=A(x-2)+2I_3+2A(1)$.
3. Egalăm cu membrul drept: $A(x-2)+2I_3+2A(1)=3A(1)+2I_3$, deci $A(x-2)=A(1)$.
4. Două matrice $A(\cdot)$ sunt egale doar dacă argumentele coincid: $x-2=1$, adică $x=3$.

Răspuns: $x=3$

1. Înlocuim $x=1$ și $y=3$ în formula legii: $1*3=\dfrac{1\cdot 3\cdot(1+3)}{1\cdot 3+1}$.
2. Calculăm numărătorul $1\cdot 3\cdot 4=12$ și numitorul $3+1=4$.
3. Obținem $1*3=\dfrac{12}{4}=3$.

Răspuns: $1*3=3$

1. Aplicăm formula cu $y=1$: $x*1=\dfrac{x\cdot 1\cdot(x+1)}{x\cdot 1+1}=\dfrac{x(x+1)}{x+1}$.
2. Simplificăm cu $x+1$: $x*1=x$ pentru orice $x\in M$.
3. Legea fiind comutativă, $1*x=x$, deci $x*1=1*x=x$, adică $1$ este element neutru.

Răspuns: $e=1$ este element neutru

1. Cu $\dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{mn}$ și $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{m+n}{mn}$, aplicăm legea: $\dfrac{1}{m}*\dfrac{1}{n}=\dfrac{m+n}{mn(mn+1)}$.
2. Membrul drept este $\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{mn(m+n)}{mn+1}$; egalăm și reducem factorii comuni $(m+n)$ și $(mn+1)$.
3. Rămâne $\dfrac{1}{mn}=\dfrac{mn}{16}$, adică $m^2 n^2=16$, deci $mn=4$ (numere nenule).
4. Căutăm perechile naturale nenule cu $m\le n$ și $mn=4$: $(1,4)$ și $(2,2)$.

Răspuns: $(m,n)\in\{(1,4),(2,2)\}$

1. Aplicăm regula câtului cu $u=x^2-3x+1$ și $v=e^x$: $f'(x)=\dfrac{(2x-3)e^x-(x^2-3x+1)e^x}{(e^x)^2}$.
2. Dăm factor comun $e^x$ și simplificăm: $f'(x)=\dfrac{(2x-3)-(x^2-3x+1)}{e^x}=\dfrac{-x^2+5x-4}{e^x}$.
3. Factorizăm $-x^2+5x-4=-(x-1)(x-4)=(x-1)(4-x)$, deci $f'(x)=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}$

1. Limita $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-3x+1}{e^x}$ este de tip $\dfrac{\infty}{\infty}$; aplicăm l'Hospital și obținem $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x-3}{e^x}$.
2. Cazul rămâne $\dfrac{\infty}{\infty}$; aplicăm din nou l'Hospital: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{e^x}=0$.
3. Cum $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$, dreapta $y=0$ (axa $Ox$) este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Răspuns: Axa $Ox$ ($y=0$) este asimptotă orizontală spre $+\infty$

1. Din semnul lui $f'(x)=\dfrac{(x-1)(4-x)}{e^x}$: $f$ este descrescătoare pe $(-\infty,1)$, crescătoare pe $(1,4)$ și descrescătoare pe $(4,+\infty)$, cu $x=1$ minim local și $x=4$ maxim local.
2. Valoarea maximului local este $f(4)=\dfrac{16-12+1}{e^4}=\dfrac{5}{e^4}<1$, iar $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
3. Pentru $n\ge 1$, dreapta $y=n$ stă deasupra întregului maxim local $\dfrac{5}{e^4}$, deci nu taie graficul pe $(1,+\infty)$; pe ramura strict descrescătoare $(-\infty,1)$ (de la $+\infty$ la $-\dfrac{1}{e}$) îl taie exact o dată.
4. Prin urmare ecuația $f(x)=n$ are soluție unică pentru orice număr natural nenul $n$.

Răspuns: Ecuația $f(x)=n$ are soluție unică pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$

1. Cu $f(x)=x\sqrt{x^2+4}$, simplificăm integrandul: $\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}=x$.
2. O primitivă a lui $x$ este $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$.
3. Calculăm $\displaystyle\int_0^2 x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^2=\dfrac{4}{2}-0=2$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2+4}}\,dx=2$

1. Cu $u=\sqrt{x^2+4}$ avem $\dfrac{1}{2}\left((x^2+4)\sqrt{x^2+4}\right)'=x\sqrt{x^2+4}=f(x)$, deci o primitivă este $F(x)=\dfrac{1}{3}(x^2+4)\sqrt{x^2+4}$.
2. Evaluăm $(x^2+4)\sqrt{x^2+4}$: în $x=\sqrt{5}$ obținem $9\cdot 3=27$, iar în $x=0$ obținem $4\cdot 2=8$.
3. Așadar $\displaystyle\int_0^{\sqrt{5}} f(x)\,dx=F(\sqrt{5})-F(0)=\dfrac{1}{3}(27-8)=\dfrac{19}{3}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^{\sqrt{5}} f(x)\,dx=\dfrac{19}{3}$

1. Cu $f^2(x)=x^2(x^2+4)$, scriem $I_{n+2}+4I_n=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^{n+2}+4x^n}{x^2(x^2+4)}\,dx=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^n(x^2+4)}{x^2(x^2+4)}\,dx$.
2. Simplificăm cu $x^2(x^2+4)$: $I_{n+2}+4I_n=\displaystyle\int_1^2 x^{n-2}\,dx=\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\Big|_1^2=\dfrac{2^{n-1}-1}{n-1}$.
3. Egalăm cu $\dfrac{3}{n-1}$ și reducem $(n-1)$: $2^{n-1}-1=3$, deci $2^{n-1}=4$.
4. Rezultă $n-1=2$, adică $n=3$.

Răspuns: $n=3$