Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Subiect Model 2023

1. Dezvoltăm produsul: $(a+bi)(1+i)=a+ai+bi+bi^2=(a-b)+(a+b)i,$ deoarece $i^2=-1.$
2. Egalăm cu $4=4+0\cdot i$ și identificăm părțile reală și imaginară: $a-b=4$ și $a+b=0.$
3. Adunând cele două ecuații obținem $2a=4,$ deci $a=2,$ iar din $a+b=0$ rezultă $b=-2.$

Răspuns: $(a,b)=(2,-2)$

1. Condiția $f(m-x)=f(m+x),\ \forall x\in\mathbb{R},$ înseamnă că dreapta $x=m$ este axă de simetrie a parabolei.
2. Axa de simetrie a parabolei $f(x)=mx^2-2x+m$ este $x=\dfrac{1}{m},$ deci $m=\dfrac{1}{m},$ adică $m^2-1=0.$
3. Rezolvăm $m^2=1$ și obținem $m\in\{-1,1\};$ ambele valori sunt nenule, deci convin.

Răspuns: $m\in\{-1,\ 1\}$

1. Condiția de existență cere $2x>0,$ deci $x>0.$
2. Folosim $2\log_2(2x)=\log_2(4x^2)$ și $\log_2(4x^2)-1=\log_2(2x^2),$ deci ecuația devine $\log_2(2x^2)=\log_2(x^2+x+2).$
3. Egalând argumentele: $2x^2=x^2+x+2,$ adică $x^2-x-2=0,$ cu soluțiile $x=2$ și $x=-1.$
4. Doar $x=2$ verifică condiția $x>0,$ deci este singura soluție.

Răspuns: $S=\{2\}$

1. Numărul total de funcții $f:A\to A$ cu $|A|=4$ este $4^4=256$ (cazuri posibile).
2. Pentru cazurile favorabile, $f(n)\le n$ înseamnă $f(1)\in\{1\},$ $f(2)\in\{1,2\},$ $f(3)\in\{1,2,3\},$ $f(4)\in\{1,2,3,4\}.$
3. Numărul de cazuri favorabile este $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24,$ deci probabilitatea este $\dfrac{24}{256}=\dfrac{3}{32}.$

Răspuns: $P=\dfrac{3}{32}$

1. Fie $M$ mijlocul lui $AB.$ Din relația medianei $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM},$ ipoteza devine $2\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{OC},$ deci $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OC}.$
2. $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OC}$ înseamnă că $C$ este mijlocul segmentului $OM.$
3. Calculăm $M\left(\dfrac{5+(-1)}{2},\dfrac{3+5}{2}\right)=M(2,4),$ apoi $C\left(\dfrac{0+2}{2},\dfrac{0+4}{2}\right)=C(1,2).$

Răspuns: $C(1,2)$

1. Din teorema sinusurilor, $\dfrac{AB}{\sin C}=2R,$ deci $\dfrac{8}{\sin 30^\circ}=\dfrac{8}{1/2}=16=2R,$ de unde $R=8.$
2. Cum $OA=OB=R=8$ și $AB=8,$ triunghiul $OAB$ este echilateral cu latura $8.$
3. Distanța de la $O$ la $AB$ este înălțimea triunghiului echilateral: $\dfrac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.$

Răspuns: $d(O,AB)=4\sqrt{3}$

1. Înlocuim $a=0:$ $A(0)=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$
2. Dezvoltăm după prima linie: $\det(A(0))=3\cdot(1\cdot 1-(-1)(-2))-0+(-2)\cdot(1\cdot(-2)-1\cdot 2).$
3. Calculăm minorii: $3\cdot(1-2)+(-2)\cdot(-2-2)=3\cdot(-1)+(-2)\cdot(-4)=-3+8=5.$

Răspuns: $\det(A(0))=5$

1. Dezvoltând determinantul $3\times 3$ și grupând termenii, obținem $\det(A(a))=5(1+a)(1-a)=5(1-a^2).$
2. Matricea $A(a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det(A(a))\ne 0,$ adică $5(1-a^2)\ne 0.$
3. Rezolvăm $1-a^2=0\Rightarrow a\in\{-1,1\};$ aceste valori se exclud, deci $a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.$

Răspuns: $a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$

1. Pentru $a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ avem $\det(A(a))\ne 0,$ deci sistemul este compatibil (Cramer) pentru orice $b,c.$
2. Pentru $a\in\{-1,1\}$ avem $\det(A(a))=0,$ dar minorul $\begin{vmatrix} a & -2 \\ 1-a & -1 \end{vmatrix}\ne 0,$ deci rangul matricei sistemului este $2.$
3. Pentru ca sistemul să fie compatibil și în aceste cazuri, minorii caracteristici de ordin $3$ trebuie să se anuleze; impunând condiția pentru $a=\pm 1$ obținem $b=2$ și $c=1.$

Răspuns: $b=2,\ c=1$

1. Evaluăm $f(-1)=(-1)^4+a(-1)^3+a(-1)^2+8(-1)-8=1-a+a-8-8.$
2. Termenii în $a$ se reduc: $-a+a=0,$ deci $f(-1)=1-8-8=-15.$
3. Rezultatul nu depinde de $a,$ deci $f(-1)=-15$ pentru orice număr real $a.$

Răspuns: $f(-1)=-15$

1. Modulo $g=X^2-1$ avem $X^2\equiv 1,$ deci $X^3\equiv X$ și $X^4\equiv 1.$
2. Reducem $f\equiv 1+aX+a+8X-8=(a+8)X+(a-7),$ acesta fiind restul împărțirii lui $f$ la $g.$
3. Impunem $(a+8)X+(a-7)=15X,$ deci $a+8=15$ și $a-7=0,$ ambele dând $a=7.$

Răspuns: $a=7$

1. Presupunem prin reducere la absurd că toate rădăcinile $x_1,x_2,x_3,x_4$ sunt întregi. Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2+x_3+x_4=-a,$ deci $a$ ar fi întreg.
2. Tot din Viète, $|x_1x_2x_3x_4|=|-8|=8,$ deci cel puțin o rădăcină are modulul $1,$ adică este $1$ sau $-1.$
3. Cum $f(-1)=-15\ne 0,$ acea rădăcină ar fi $1.$ Dar $f(1)=1+a+a+8-8=2a+1,$ iar $f(1)=0$ ar da $a=-\dfrac{1}{2}\notin\mathbb{Z},$ contradicție cu $a$ întreg.
4. Așadar presupunerea este falsă: $f$ nu poate avea toate rădăcinile întregi, pentru niciun $a$ real.

Răspuns: Pentru orice $a\in\mathbb{R},$ polinomul $f$ nu are toate rădăcinile întregi.

1. Derivăm: $f'(x)=-1-\left[4x^3\operatorname{arctg} x+(x^4-1)\cdot\dfrac{1}{x^2+1}\right],$ folosind regula produsului și $(\operatorname{arctg} x)'=\dfrac{1}{x^2+1}.$
2. Simplificăm $\dfrac{x^4-1}{x^2+1}=x^2-1,$ deci termenii fără $\operatorname{arctg} x$ devin $-1-(x^2-1)=-x^2.$
3. Așadar $f'(x)=-x^2-4x^3\operatorname{arctg} x=-x^2(4x\operatorname{arctg} x+1).$

Răspuns: $f'(x)=-x^2(4x\operatorname{arctg} x+1)$

1. Tangenta este paralelă cu $Ox$ în $x_0$ dacă și numai dacă panta $f'(x_0)=0.$
2. Cum $x_0\operatorname{arctg} x_0\ge 0,$ avem $4x_0\operatorname{arctg} x_0+1>0,$ deci $f'(x_0)=-x_0^2(4x_0\operatorname{arctg} x_0+1)=0\iff x_0=0.$
3. Calculăm $f(0)=1-0-(0-1)\operatorname{arctg} 0=1,$ deci ecuația tangentei este $y=f(0)=1.$

Răspuns: $y=1$

1. Pe $[0,1],$ $f'(x)=-x^2(4x\operatorname{arctg} x+1)\le 0,$ deci $f$ este descrescătoare; cum $f(0)=1$ și $f(1)=0,$ avem $f([0,1])=[0,1].$
2. Pentru $g(x)=\operatorname{tg} x-x$ avem $g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\ge 0$ pe $[0,1],$ deci $g$ crește și $g(x)\ge g(0)=0,$ adică $\operatorname{tg} x\ge x.$
3. Aplicând $\operatorname{tg} y\ge y$ pentru $y=f(x)\in[0,1]$ obținem $\operatorname{tg}(f(x))\ge f(x).$
4. Cum $\operatorname{tg} x\ge x$ și $f$ este descrescătoare, rezultă $f(\operatorname{tg} x)\le f(x);$ combinând, $\operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f(\operatorname{tg} x).$

Răspuns: $\operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\ge f(\operatorname{tg} x),\ \forall x\in[0,1].$

1. Simplificăm integrandul: $(1+e^{-x})f(x)=(1+e^{-x})\cdot\dfrac{x^2+e^x}{1+e^{-x}}=x^2+e^x.$
2. O primitivă a lui $x^2+e^x$ este $\dfrac{x^3}{3}+e^x.$
3. Aplicăm Leibniz-Newton: $\left[\dfrac{x^3}{3}+e^x\right]_0^3=(9+e^3)-(0+1)=8+e^3.$

Răspuns: $\displaystyle\int_0^3(1+e^{-x})f(x)\,dx=8+e^3$

1. Simplificăm $\dfrac{f(x)}{x^2+e^x}=\dfrac{1}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{(e^x+1)'}{e^x+1},$ care are primitiva $\ln(1+e^x).$
2. Aplicăm Leibniz-Newton: $\displaystyle\int_{-m}^{m}\dfrac{1}{1+e^{-x}}\,dx=\ln(1+e^m)-\ln(1+e^{-m})=\ln\dfrac{1+e^m}{1+e^{-m}}.$
3. Cum $1+e^{-m}=\dfrac{e^m+1}{e^m},$ raportul devine $e^m,$ deci integrala este $\ln(e^m)=m.$

Răspuns: $\displaystyle\int_{-m}^{m}\dfrac{f(x)}{x^2+e^x}\,dx=m$

1. Limita este de tipul $\dfrac{0}{0};$ aplicând regula lui l'Hôpital, $\left(\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\right)'=f(x)$ și $(e^{ax}-1)'=ae^{ax},$ deci limita devine $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{ae^{ax}}.$
2. Calculăm $f(0)=\dfrac{0+e^0}{1+e^0}=\dfrac{1}{2},$ deci limita este $\dfrac{f(0)}{a\cdot e^0}=\dfrac{1}{2a}.$
3. Impunem $\dfrac{1}{2a}=1,$ de unde $2a=1,$ adică $a=\dfrac{1}{2}.$

Răspuns: $a=\dfrac{1}{2}$