pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea Specială 2023

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2023, sesiunea specială. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

  1. 1.
    Arătați că (2−i)2+i(4+i)=2(2-i)^2+i(4+i)=2, unde i2=−1.i^2=-1.
  2. 2.
    Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+3f(x)=x+3. Determinați numărul real mm pentru care (f∘f)(m)=2m.(f\circ f)(m)=2m.
  3. 3.
    Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x+1−3⋅5x=10.5^{x+1}-3\cdot 5^x=10.
  4. 4.
    Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu 7.7.
  5. 5.
    În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,4),A(0,4), B(3,−2)B(3,-2) și C(2a,a),C(2a,a), unde aa este număr real nenul. Arătați că dreptele ABAB și OCOC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul a.a.
  6. 6.
    Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+4cos⁡x3sin⁡2x3E(x)=\sin x+4\cos\dfrac{x}{3}\sin\dfrac{2x}{3}, unde xx este număr real. Arătați că E ⁣(π2)=4.E\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=4.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea A(a)=(a−12a1−2a111−a)A(a)=\begin{pmatrix} a & -1 & 2a \\ 1 & -2 & a \\ 1 & 1 & 1-a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax−y+2az=0x−2y+az=0x+y+(1−a)z=0\begin{cases} ax-y+2az=0 \\ x-2y+az=0 \\ x+y+(1-a)z=0 \end{cases}, unde aa este număr real.
  1. a.
    Arătați că det⁡(A(0))=1.\det(A(0))=1.
  2. b.
    Determinați mulțimea numerelor reale aa pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
  3. c.
    Pentru a=−1a=-1, determinați soluțiile (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) ale sistemului pentru care x02+y02+z02=3.x_0^2+y_0^2+z_0^2=3.
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2y2−4(x+y)2+1.x*y=x^2y^2-4(x+y)^2+1.
  1. a.
    Arătați că 0∗1=−3.0*1=-3.
  2. b.
    Arătați că x∗(−1)≤2xx*(-1)\le 2x, pentru orice număr real x.x.
  3. c.
    Determinați perechile (m,n)(m,n) de numere naturale nenule, cu m≤nm\le n, pentru care m∗n=1.m*n=1.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−ln⁡(x2+x+5).f(x)=\dfrac{x}{5}-\ln(x^2+x+5).
  1. a.
    Arătați că f′(x)=x2−9x5(x2+x+5)f'(x)=\dfrac{x^2-9x}{5(x^2+x+5)}, x∈R.x\in\mathbb{R}.
  2. b.
    Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției ff în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu axa Ox.Ox.
  3. c.
    Demonstrați că ecuația f(x)=0f(x)=0 are soluție unică.
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4xx3+8.f(x)=\dfrac{4x}{x^3+8}.
  1. a.
    Arătați că ∫02(x3+8) f(x) dx=8.\displaystyle\int_0^2 (x^3+8)\,f(x)\,dx=8.
  2. b.
    Arătați că ∫14xf(x) dx=4ln⁡2.\displaystyle\int_1^4 xf(x)\,dx=4\ln 2.
  3. c.
    Calculați lim⁡x→0(1x3∫0xt⋅f(t) dt).\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x^3}\int_0^x t\cdot f(t)\,dt\right).

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-aDerivateclasa a XI-aIntegrala definităclasa a XII-aLogaritmiclasa a XI-aDeterminanțiclasa a XI-aLimite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.