Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Toamnă 2023

1. Folosim formula termenului general al progresiei aritmetice: $a_5=a_1+4r$.
2. Din $23=3+4r$ obținem $4r=20$, deci rația este $r=5$.
3. Termenul următor este $a_6=a_5+r=23+5=28$.

Răspuns: $a_6=28$

1. Punctul $A(m,-1)$ aparține graficului dacă $f(m)=-1$, adică $m^2-6m+8=-1$.
2. Trecem totul într-un membru: $m^2-6m+9=0$.
3. Recunoaștem pătratul perfect $(m-3)^2=0$, de unde $m=3$.

Răspuns: $m=3$

1. Scriem membrul drept ca putere a lui $3$: $9\cdot 3^{x+1}=3^2\cdot 3^{x+1}=3^{x+3}$.
2. Funcția exponențială fiind injectivă, egalăm exponenții: $2x-1=x+3$.
3. Rezolvăm ecuația liniară: $2x-x=3+1$, deci $x=4$.

Răspuns: $x=4$

1. Submulțimile nevide cu cel mult două elemente sunt cele cu exact un element sau cu exact două elemente.
2. Numărul lor este $C_5^1+C_5^2$.
3. Calculăm: $C_5^1=5$ și $C_5^2=10$, deci suma este $5+10=15$.

Răspuns: $15$ submulțimi

1. Calculăm coordonatele vectorilor: $\overrightarrow{OA}=(3,1)$ și $\overrightarrow{BC}=(x_C-4,\ y_C-4)$.
2. Egalitatea $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BC}$ dă pe coordonate $x_C-4=3$ și $y_C-4=1$.
3. Rezolvăm: $x_C=7$ și $y_C=5$.

Răspuns: $C(7,5)$

1. În triunghiul $ADB$ dreptunghic în $D$, cu teorema lui Pitagora: $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.
2. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, relația catetei dă $AB^2=BD\cdot BC$, deci $36=3\sqrt{3}\cdot BC$, de unde $BC=\dfrac{36}{3\sqrt{3}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$.
3. Ipotenuza $BC$ este diametrul cercului circumscris, deci raza este $R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.

Răspuns: Raza cercului circumscris este $R=2\sqrt{3}$.

1. Înlocuim $x=1$ în matrice și obținem $A(1)=\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&1&1 \\ -1&-1&-1 \end{pmatrix}$.
2. Observăm că linia a treia este opusa primei: $L_3=-L_1$, deci două linii sunt proporționale.
3. Un determinant cu două linii proporționale este nul, prin urmare $\det(A(1))=0$.

Răspuns: $\det(A(1))=0$

1. Calculăm produsul $A(x)\cdot A(y)$ și îl scădem din $A(xy)$; prima linie se simplifică complet, iar diferențele rămân doar pe liniile $2$ și $3$, dând $\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ x+y-2&0&x+y-2 \\ -(x+y-2)&0&-(x+y-2) \end{pmatrix}$.
2. Înlocuind $x=0$ în $A(x)$ obținem $A(0)=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 1&0&1 \\ -1&0&-1 \end{pmatrix}$.
3. Dând factor comun $(x+y-2)$, diferența este exact $(x+y-2)A(0)$, ceea ce încheie demonstrația.

Răspuns: $A(x)\cdot A(y)-A(xy)=(x+y-2)A(0)$

1. Aplicăm identitatea de la b): pentru $A(-1)\cdot A(3)$ avem $-1+3-2=0$, deci corectorul dispare și $A(-1)\cdot A(3)=A(-3)$.
2. Înmulțim cu $A(x)$: $A(-3)\cdot A(x)=A(-3x)+(-3+x-2)A(0)=A(-3x)+(x-5)A(0)$.
3. Pentru ca rezultatul să fie de forma $A(y)$, termenul $(x-5)A(0)$ trebuie să se anuleze, deci $x=5$.
4. Atunci $A(y)=A(-3\cdot 5)=A(-15)$, de unde $y=-15$.

Răspuns: $x=5$, $y=-15$

1. Pentru $m=2$, substituim $X=1$: $f(1)=1^4+2\cdot 1^3-8\cdot 1^2+3\cdot 2\cdot 1+2$.
2. Calculăm fiecare termen: $f(1)=1+2-8+6+2$.
3. Grupăm pozitivele $1+2+6+2=11$ și termenul negativ $-8$, deci $f(1)=11-8=3$.

Răspuns: $f(1)=3$

1. Pentru $m=0$, polinomul devine $f=X^4+2X^3-8X^2=X^2(X^2+2X-8)$.
2. Descompunem trinomul $X^2+2X-8=(X+4)(X-2)$, deci $f=X^2(X+4)(X-2)$.
3. Rădăcinile sunt $x=0$ (dublă), $x=-4$ și $x=2$.

Răspuns: $\{0,\ 0,\ -4,\ 2\}$

1. Coeficienții lui $f$ fiind raționali, conjugata $x_2=1-\sqrt{3}$ este de asemenea rădăcină; atunci $x_1+x_2=2$ și $x_1x_2=(1)^2-(\sqrt{3})^2=-2$.
2. Din relațiile lui Viète, suma tuturor rădăcinilor este $-2$, deci $x_3+x_4=-2-(x_1+x_2)=-4$.
3. Din suma produselor câte două (egală cu $-8$) și relațiile deja găsite obținem $x_3x_4=2$.
4. Produsul tuturor rădăcinilor este $m$, deci $m=x_1x_2\cdot x_3x_4=(-2)\cdot 2=-4$.

Răspuns: $m=-4$

1. Aplicăm regula câtului $(u/v)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ cu $u=3e^x$ și $v=x^2+x+1$, deci numărătorul este $3e^x(x^2+x+1)-3e^x(2x+1)$.
2. Dăm factor comun $3e^x$: numărătorul devine $3e^x(x^2+x+1-2x-1)$.
3. Reducem în paranteză: $x^2+x+1-2x-1=x^2-x$, deci $f'(x)=\dfrac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}$

1. Scriem $f(2x)=\dfrac{3e^{2x}}{4x^2+2x+1}$ și $f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+x+1}$, deci $\dfrac{f(2x)}{f(x)}=\dfrac{e^{2x}}{e^x}\cdot\dfrac{x^2+x+1}{4x^2+2x+1}=e^x\cdot\dfrac{x^2+x+1}{4x^2+2x+1}$.
2. Împărțind numărătorul și numitorul la $x^2$, raportul rațional tinde la $\dfrac{1}{4}$ când $x\to+\infty$.
3. Cum $e^x\to+\infty$, produsul $e^x\cdot\dfrac{1}{4}\to+\infty$, deci limita este $+\infty$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(2x)}{f(x)}=+\infty$

1. Din $f'(x)=0\Leftrightarrow x^2-x=0$ obținem punctele critice $x=0$ și $x=1$; semnul lui $x^2-x$ arată că $x=0$ este maxim local, iar $x=1$ este minim local.
2. Valorile extreme sunt $f(0)=\dfrac{3e^0}{1}=3$ și $f(1)=\dfrac{3e}{3}=e$.
3. Cum $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ și $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, pentru $m\in(e,3)$ orizontala $y=m$ taie graficul exact o dată pe fiecare dintre cele trei ramuri monotone $(-\infty,0)$, $(0,1)$ și $(1,+\infty)$.
4. Prin urmare ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții pentru orice $m\in(e,3)$.

Răspuns: Ecuația $f(x)=m$ are exact trei soluții pentru orice $m\in(e,3)$.

1. Cum $f(x)=6x+\ln(x+1)$, integrandul se simplifică: $f(x)-\ln(x+1)=6x$.
2. O primitivă a lui $6x$ este $3x^2$, deci $\int_1^2 6x\,dx=3x^2\Big|_1^2$.
3. Evaluăm: $3\cdot 2^2-3\cdot 1^2=12-3=9$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^2 (f(x)-\ln(x+1))\,dx=9$

1. Cum $f(x)-6x=\ln(x+1)$, integrandul este $\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=\ln(x+1)\cdot(\ln(x+1))'$, formă de tip $u\cdot u'$.
2. O primitivă este $\dfrac{\ln^2(x+1)}{2}$, deci integrala este $\dfrac{\ln^2(x+1)}{2}\Big|_0^{e-1}$.
3. Evaluăm cu $\ln e=1$ și $\ln 1=0$: $\dfrac{1^2-0^2}{2}=\dfrac{1}{2}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^{e-1}\dfrac{f(x)-6x}{x+1}\,dx=\dfrac{1}{2}$

1. Cum $g(x)=f(x^2)=6x^2+\ln(x^2+1)\ge 0$ pe $[0,1]$, aria este $\mathcal{A}=\int_0^1 6x^2\,dx+\int_0^1\ln(x^2+1)\,dx$, prima integrală fiind $2x^3\big|_0^1=2$.
2. Pentru a doua integrală aplicăm integrarea prin părți: $\int_0^1\ln(x^2+1)\,dx=\ln 2-\int_0^1\dfrac{2x^2}{x^2+1}\,dx$, deci $\mathcal{A}=2+\ln 2-\int_0^1\dfrac{2x^2}{x^2+1}\,dx$.
3. Scriem $\dfrac{2x^2}{x^2+1}=2-\dfrac{2}{x^2+1}$, iar $\int_0^1\dfrac{2}{x^2+1}\,dx=2\operatorname{arctg} x\big|_0^1=\dfrac{\pi}{2}$, deci $\int_0^1\dfrac{2x^2}{x^2+1}\,dx=2-\dfrac{\pi}{2}$.
4. Înlocuind, $\mathcal{A}=2+\ln 2-\left(2-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}+\ln 2$; egalând cu $a\pi+\ln 2$ rezultă $a=\dfrac{1}{2}$.

Răspuns: $a=\dfrac{1}{2}$