Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Subiect Model 2025

1. Calculăm $i\cdot z_1=i\,(4+i)=4i+i^2=4i-1=-1+4i$, deoarece $i^2=-1$.
2. Adunăm $z_2=2-4i$: $i\cdot z_1+z_2=(-1+4i)+(2-4i)=1+0\cdot i$.
3. Obținem $i\cdot z_1+z_2=1$, partea imaginară fiind $0$.

Răspuns: $i\cdot z_1+z_2=1$

1. Punctul $A(a,5)$ aparține graficului dacă $f(a)=5$, adică $a^2-3a+5=5$.
2. Simplificăm termenul liber și obținem $a^2-3a=0$.
3. Factorizăm: $a(a-3)=0$, deci $a=0$ sau $a=3$.

Răspuns: $a=0$ și $a=3$

1. Condiții de existență: $7x-5>0$, $x+1>0$, $x>0$ și $x\ne1$, deci $x>\dfrac{5}{7}$, $x\ne1$.
2. Folosim $\dfrac{1}{\log_x 6}=\log_6 x$, deci ecuația devine $\log_6(7x-5)=\log_6(x+1)+\log_6 x=\log_6\big(x(x+1)\big)$.
3. Egalăm argumentele: $7x-5=x^2+x$, adică $x^2-6x+5=0$, cu soluțiile $x=1$ și $x=5$.
4. Soluția $x=1$ se exclude ($x\ne1$), deci rămâne doar $x=5$.

Răspuns: $x=5$

1. Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\ldots,99$, deci sunt $90$ cazuri posibile.
2. Multiplii impari ai lui $9$ cu două cifre sunt $27,45,63,81,99$, adică $5$ cazuri favorabile.
3. Probabilitatea este $P=\dfrac{5}{90}=\dfrac{1}{18}$.

Răspuns: $P=\dfrac{1}{18}$

1. Panta dreptei $OB$ cu $O(0,0)$ și $B(2,4)$ este $m_{OB}=\dfrac{4-0}{2-0}=2$.
2. Panta dreptei $AC$ cu $A(2,0)$ și $C(5,a)$ este $m_{AC}=\dfrac{a-0}{5-2}=\dfrac{a}{3}$.
3. Dreptele sunt paralele $\Leftrightarrow m_{OB}=m_{AC}$, deci $\dfrac{a}{3}=2$, de unde $a=6$.

Răspuns: $a=6$

1. Din $\sin^2 B+\cos^2 B=1$ și $\cos B=\dfrac{4}{5}$ obținem $\sin^2 B=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$.
2. Cum $B\in(0,\pi)$, avem $\sin B>0$, deci $\sin B=\dfrac{3}{5}$.
3. Aria este $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{2}\cdot 36=18$.

Răspuns: $\mathcal{A}_{ABC}=18$

1. Dezvoltăm $\det A$ după prima linie; cum $a_{11}=a_{12}=0$ și $a_{13}=1$, rămâne doar termenul din coloana a treia.
2. Minorul este $M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-0\cdot0=1$.
3. Cofactorul are semnul $(-1)^{1+3}=1$, deci $\det A=a_{13}\cdot(-1)^{1+3}\cdot M_{13}=1\cdot1\cdot1=1$.

Răspuns: $\det A=1$

1. Calculăm produsul $B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}-x&0&1\\-1&-x&0\\0&-1&-x\end{pmatrix}$.
2. Scădem din $A$: $A-B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-x&0&1\\-1&-x&0\\0&-1&-x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&x&0\\0&0&x\end{pmatrix}$.
3. Matricea obținută este $xI_3$, deci $A-B(x)\cdot A=xI_3$ pentru orice $x$ real.

Răspuns: $A-B(x)\cdot A=xI_3$

1. Cum $\det A=1\ne0$, $A$ este inversabilă și din $A\cdot C(x)=B(x)$ rezultă $C(x)=A^{-1}B(x)$, cu $A^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{pmatrix}$.
2. Scriem $B(x)=I_3+xD$, unde $D=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{pmatrix}$, deci $C(x)-C(y)=A^{-1}\big(B(x)-B(y)\big)=(x-y)\,A^{-1}D$.
3. Calculăm $A^{-1}D=-A$, prin urmare $C(x)-C(y)=(x-y)(-A)=(y-x)A$ pentru orice $x,y$ reale.

Răspuns: $C(x)-C(y)=(y-x)A$

1. Înlocuim $x=1$ și $y=3$ în $x*y=x^2y+xy^2+x+y$.
2. Calculăm $x^2y+xy^2=1^2\cdot3+1\cdot3^2=3+9=12$ și $x+y=1+3=4$.
3. Adunăm: $1*3=12+4=16$.

Răspuns: $1*3=16$

1. Pentru $x\ne0$: $x*\dfrac{2}{x}=x^2\cdot\dfrac{2}{x}+x\cdot\dfrac{4}{x^2}+x+\dfrac{2}{x}=2x+\dfrac{4}{x}+x+\dfrac{2}{x}=3x+\dfrac{6}{x}=\dfrac{3x^2+6}{x}$.
2. Ecuația $x*\dfrac{2}{x}=9x$ devine $\dfrac{3x^2+6}{x}=9x$, adică $3x^2+6=9x^2$.
3. Obținem $6x^2=6$, deci $x^2=1$, de unde $x=-1$ și $x=1$ (ambele nenule).

Răspuns: $x=-1$ și $x=1$

1. Factorizăm $m*n=mn(m+n)+(m+n)=(m+n)(mn+1)$, deci ecuația devine $(m+n)(mn+1)=1$.
2. Cum $m,n$ sunt întregi, $m+n$ și $mn+1$ sunt întregi cu produsul $1$: fie ambii $1$, fie ambii $-1$.
3. Cazul $m+n=1,\ mn=0$ dă perechea $(0,1)$; cazul $m+n=-1,\ mn=-2$ dă rădăcinile $1$ și $-2$, adică perechea $(-2,1)$.
4. Impunând $m\le n$, soluțiile sunt $(0,1)$ și $(-2,1)$.

Răspuns: $(m,n)\in\{(0,1),(-2,1)\}$

1. Aplicăm regula câtului cu $u=\ln x$, $v=x^3$, unde $u'=\dfrac{1}{x}$ și $v'=3x^2$.
2. Numărătorul este $u'v-uv'=\dfrac{1}{x}\cdot x^3-\ln x\cdot3x^2=x^2-3x^2\ln x=x^2(1-3\ln x)$, iar numitorul $(x^3)^2=x^6$.
3. Simplificăm $x^2$ din numărător cu $x^6$ din numitor: $f'(x)=\dfrac{x^2(1-3\ln x)}{x^6}=\dfrac{1-3\ln x}{x^4}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{1-3\ln x}{x^4}$

1. Când $x\to+\infty$, $\ln x\to+\infty$ și $x^3\to+\infty$, deci limita este de tipul $\dfrac{\infty}{\infty}$.
2. Cum orice putere $x^\alpha$ crește mai repede decât $\ln x$ (sau prin L'Hôpital), $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^3}=0$.
3. Limita finită $0$ înseamnă că graficul are asimptotă orizontală spre $+\infty$ dreapta $y=0$.

Răspuns: $y=0$

1. Din $f'(x)=0$ avem $1-3\ln x=0\Leftrightarrow\ln x=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{e}$, punct de maxim ($f'$ schimbă semnul din $+$ în $-$).
2. Valoarea maximă este $f(\sqrt[3]{e})=\dfrac{\ln\sqrt[3]{e}}{(\sqrt[3]{e})^3}=\dfrac{1/3}{e}=\dfrac{1}{3e}$.
3. Cum $\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ și maximul global este $\dfrac{1}{3e}$, imaginea funcției continue $f$ este $\left(-\infty,\dfrac{1}{3e}\right]$.
4. Ecuația $f(x)=m$ are cel puțin o soluție exact când $m$ aparține imaginii, deci $m\in\left(-\infty,\dfrac{1}{3e}\right]$.

Răspuns: $m\in\left(-\infty,\dfrac{1}{3e}\right]$

1. Simplificăm integrandul: $f(x)-e^x=(e^x+x^2-1)-e^x=x^2-1$, deci integrala devine $\displaystyle\int_1^4(x^2-1)\,dx$.
2. O primitivă este $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x$.
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $F(4)-F(1)=\left(\dfrac{64}{3}-4\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=21-3=18$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^4\left(f(x)-e^x\right)dx=18$

1. Simplificăm numitorul: $f(x)-x^2=(e^x+x^2-1)-x^2=e^x-1$, deci integrala este $\displaystyle\int_1^2\dfrac{e^x}{e^x-1}\,dx$.
2. Cum $\dfrac{e^x}{e^x-1}=\dfrac{(e^x-1)'}{e^x-1}$, o primitivă este $\ln(e^x-1)$ (pozitiv pe $[1,2]$).
3. Evaluăm: $\ln(e^2-1)-\ln(e-1)=\ln\dfrac{e^2-1}{e-1}=\ln\dfrac{(e-1)(e+1)}{e-1}=\ln(e+1)$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^2\dfrac{e^x}{f(x)-x^2}\,dx=\ln(e+1)$

1. Simplificăm numitorul: $f(x)+1=(e^x+x^2-1)+1=e^x+x^2$.
2. Pe $[0,1]$ avem $e^x+x^2\ge e^x>0$, deci $\dfrac{x}{e^x+x^2}\le\dfrac{x}{e^x}=xe^{-x}$, prin urmare $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{e^x+x^2}\,dx\le\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx$.
3. Integrăm prin părți ($u=x,\ dv=e^{-x}dx$): $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx=[-xe^{-x}]_0^1+\displaystyle\int_0^1 e^{-x}\,dx=-\dfrac{1}{e}+\left(1-\dfrac{1}{e}\right)=1-\dfrac{2}{e}$.
4. Combinând, $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{f(x)+1}\,dx\le1-\dfrac{2}{e}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{f(x)+1}\,dx\le1-\dfrac{2}{e}$