Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Simulare 2025

1. Rația progresiei se obține împărțind doi termeni consecutivi: $q=\dfrac{b_4}{b_3}=\dfrac{80}{40}=2.$
2. Din $b_3=b_1\cdot q^2$ scoatem primul termen: $b_1=\dfrac{b_3}{q^2}=\dfrac{40}{2^2}=\dfrac{40}{4}.$
3. Efectuăm împărțirea și obținem $b_1=10.$

Răspuns: $b_1=10$

1. Graficul taie axa $Ox$ în două puncte distincte dacă ecuația $x^2-2x+m=0$ are două soluții reale distincte, adică $\Delta>0.$
2. Calculăm discriminantul: $\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot m=4-4m,$ deci condiția este $4-4m>0.$
3. Rezolvăm inecuația: $4-4m>0\Leftrightarrow m<1,$ adică $m\in(-\infty,1).$

Răspuns: $m\in(-\infty,1)$

1. Scriem $3^{x+1}=3\cdot 3^x$ și dăm factor comun: $3^x+2\cdot 3\cdot 3^x=3^x(1+6)=7\cdot 3^x.$
2. Ecuația devine $7\cdot 3^x=63,$ de unde $3^x=\dfrac{63}{7}=9.$
3. Cum $9=3^2,$ din $3^x=3^2$ rezultă $x=2.$

Răspuns: $x=2$

1. Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\ldots,99,$ deci numărul cazurilor posibile este $99-10+1=90.$
2. Condiția ca $n^2$ să aibă trei cifre este $100\le n^2\le 999,$ adică $10\le n\le 31;$ cazurile favorabile sunt $22.$
3. Probabilitatea este $P=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{22}{90}=\dfrac{11}{45}.$

Răspuns: $P=\dfrac{11}{45}$

1. Calculăm $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)=(7-1,\ 4-2)=(6,2).$
2. Din $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$ rezultă $\overrightarrow{AC}=(3,1),$ deci $C(1+3,\ 2+1)=C(4,3).$
3. Avem $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=(7-4,\ 4-3)=(3,1);$ cum $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB},$ punctul $D$ are coordonatele $(3,1).$

Răspuns: $D(3,1)$

1. În triunghiul dreptunghic $ABD$ ($AD\perp BC$): $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{100-64}=6.$
2. Calculăm aria triunghiului $ADC$ pe două căi: $\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot AD=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot 4\sqrt{2},$ cu $AC=\sqrt{AD^2+DC^2};$ rezolvând obținem $DC=8.$
3. Cum $D\in(BC),$ avem $BC=BD+DC=6+8=14,$ deci $\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AD=\dfrac{1}{2}\cdot 14\cdot 8=56.$

Răspuns: $\mathcal{A}_{ABC}=56$

1. Înlocuim $a=0$ și obținem $A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix},$ cu prima coloană $0,\ 3,\ 1.$
2. Dezvoltăm după prima linie; singurul termen nenul provine din intrarea $a_{12}=1$, cu minorul $\det\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=3\cdot 0-(-2)\cdot 1=2.$
3. Astfel $\det(A(0))=-1\cdot 2=-2.$

Răspuns: $\det(A(0))=-2$

1. Dezvoltăm determinantul după prima linie și grupăm termenii: $\det(A(a))=a^2+a-2.$
2. Sistemul are soluție unică (este de tip Cramer) dacă și numai dacă $\det(A(a))\ne 0.$
3. Rezolvăm $a^2+a-2=0\Leftrightarrow(a+2)(a-1)=0,$ deci $a\in\{-2,1\}$ sunt excluse, iar mulțimea cerută este $\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}.$

Răspuns: $a\in\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$

1. Pentru $a=1$ sistemul este compatibil nedeterminat; luând $\alpha=x$ ca parametru, soluția generală este $(\alpha,\ \alpha+1,\ 2\alpha),\ \alpha\in\mathbb{C}.$
2. Scriem cele două soluții cu parametrii $\alpha_1,\alpha_2$ și impunem condițiile $y_1=x_2:\ \alpha_1+1=\alpha_2$ și $z_1=y_2:\ 2\alpha_1=\alpha_2+1.$
3. Înlocuind $\alpha_2=\alpha_1+1$ în a doua relație: $2\alpha_1=\alpha_1+2,$ deci $\alpha_1=2$ și $\alpha_2=3,$ de unde soluțiile $(2,3,4)$ și $(3,4,6).$

Răspuns: $(2,3,4)$ și $(3,4,6)$

1. Înlocuim $x=1,\ y=4$ în lege; calculăm $\sqrt{xy}=\sqrt{1\cdot 4}=2.$
2. Calculăm restul termenilor: $\dfrac{1}{\sqrt{xy}}=\dfrac{1}{2}$ și $\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}.$
3. Adunăm: $1*4=2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}-2=2+3-2=3.$

Răspuns: $1*4=3$

1. Cu $y=x$ și $\sqrt{x^2}=x$ pe $M=(0,+\infty)$: $x*x=x+\dfrac{1}{x}+x-2=\dfrac{2x^2-2x+1}{x}.$
2. Ecuația $x*x=1$ devine $\dfrac{2x^2-2x+1}{x}=1\Leftrightarrow 2x^2-3x+1=0.$
3. Rezolvăm: $(2x-1)(x-1)=0,$ deci $x=\dfrac{1}{2}$ sau $x=1,$ ambele în $M.$

Răspuns: $x=\dfrac{1}{2}$ și $x=1$

1. Pentru $t=\sqrt{xy}>0$ folosim inegalitatea $t+\dfrac{1}{t}\ge 2,$ deci $\sqrt{xy}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\ge 2.$
2. Atunci $x*y=\left(\sqrt{xy}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\right)+\dfrac{x+y}{2}-2\ge 2+\dfrac{x+y}{2}-2=\dfrac{x+y}{2}.$
3. Dacă $x,y\in[1,+\infty),$ atunci $x+y\ge 2,$ deci $\dfrac{x+y}{2}\ge 1,$ de unde $x*y\ge 1,$ adică $x*y\in[1,+\infty);$ mulțimea este parte stabilă.

Răspuns: $[1,+\infty)$ este parte stabilă a lui $M$ în raport cu „$*$”

1. Derivăm partea rațională cu regula câtului ($u=2x-2,\ v=x+2$): $\left(\dfrac{2x-2}{x+2}\right)'=\dfrac{2(x+2)-(2x-2)}{(x+2)^2}=\dfrac{6}{(x+2)^2}.$
2. Scriem $\ln\dfrac{x+2}{x}=\ln(x+2)-\ln x$ și derivăm: $\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{-2}{x(x+2)}.$
3. Adunăm și aducem la același numitor: $f'(x)=\dfrac{6}{(x+2)^2}-\dfrac{2}{x(x+2)}=\dfrac{6x-2(x+2)}{x(x+2)^2}=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2}.$

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{4(x-1)}{x(x+2)^2}$

1. Calculăm limita părții raționale: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x-2}{x+2}=2$ (raportul coeficienților dominanți).
2. Calculăm limita părții logaritmice: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{x+2}{x}=\ln 1=0.$
3. Adunăm: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2+0=2,$ deci asimptota orizontală spre $+\infty$ este $y=2.$

Răspuns: $y=2$

1. Cum $x(x+2)^2>0$ pe $(0,+\infty),$ semnul lui $f'$ este al lui $x-1$: $f$ scade pe $(0,1]$ și crește pe $[1,+\infty),$ cu minimul $f(1)=\ln 3.$
2. La capete: $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2,$ deci imaginea funcției este $[\ln 3,+\infty).$
3. Ecuația $f(x)=n$ nu are soluții pentru $n<\ln 3;$ cum $1<\ln 3<2,$ singurele numere naturale sunt $n=0$ și $n=1.$

Răspuns: $n=0$ și $n=1$

1. Simplificăm integrandul: $(2x^2+1)f(x)=(2x^2+1)\cdot\dfrac{x^2}{2x^2+1}=x^2.$
2. O primitivă a lui $x^2$ este $F(x)=\dfrac{x^3}{3};$ aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle\int_{-1}^{2}x^2\,dx=F(2)-F(-1)=\dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right).$
3. Calculăm: $\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{3}=3.$

Răspuns: $\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(2x^2+1\right)f(x)\,dx=3$

1. Simplificăm: $\sqrt{f(x)}=\sqrt{\dfrac{x^2}{2x^2+1}}=\dfrac{|x|}{\sqrt{2x^2+1}};$ pe $[0,2]$ avem $|x|=x,$ deci integrandul este $\dfrac{x}{\sqrt{2x^2+1}}.$
2. O primitivă este $F(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2x^2+1}$ (se verifică prin derivare); evaluăm la capete.
3. $F(2)=\dfrac{1}{2}\sqrt{9}=\dfrac{3}{2}$ și $F(0)=\dfrac{1}{2}\sqrt{1}=\dfrac{1}{2},$ deci integrala este $\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1.$

Răspuns: $\displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{f(x)}\,dx=1$

1. Cu $t=\sqrt{e^x}$ avem $t^2=e^x,$ deci $f\!\left(\sqrt{e^x}\right)=\dfrac{e^x}{2e^x+1}$ și $\dfrac{1}{f\!\left(\sqrt{e^x}\right)}=\dfrac{2e^x+1}{e^x}=2+e^{-x}.$
2. Atunci $(n+1)I_n-I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1\left[(n+1)x^n-x^{n+1}\right](2+e^{-x})\,dx,$ pe care îl despărțim în partea polinomială (factor $2$) și partea cu $e^{-x}.$
3. Partea polinomială: $2\displaystyle\int_0^1\left[(n+1)x^n-x^{n+1}\right]dx=2\left(1-\dfrac{1}{n+2}\right)=\dfrac{2(n+1)}{n+2},$ iar partea cu $e^{-x}$ (integrare prin părți) dă $\dfrac{1}{e};$ în total $(n+1)I_n-I_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac{1}{e}.$

Răspuns: $(n+1)I_n-I_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}+\dfrac{1}{e}$