Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Toamnă 2025

1. Desfacem parantezele: $3(4-5i)=12-15i$ și $5i(3+2i)=15i+10i^2$.
2. Adunăm: $12-15i+15i+10i^2=12+10i^2$ (termenii $-15i$ și $15i$ se reduc).
3. Înlocuim $i^2=-1$: $10i^2=-10$, deci expresia devine $12-10=2$.

Răspuns: $3(4-5i)+5i(3+2i)=2$

1. Calculăm întâi imaginea lui $1$ prin $f$: $f(1)=1+4=5$.
2. Atunci $(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(5)=2\cdot5+a=10+a$.
3. Impunem condiția $(g\circ f)(1)=1$: $10+a=1\Rightarrow a=-9$.

Răspuns: $a=-9$

1. Logaritmii fiind în aceeași bază, egalăm argumentele: $6x-x^2=4+x$.
2. Aducem la forma standard: $-x^2+5x-4=0$, adică $x^2-5x+4=0$.
3. Rezolvăm: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0\Rightarrow x\in\{1,4\}$.
4. Verificăm condițiile de existență ($6x-x^2>0$ și $4+x>0$): ambele valori sunt acceptate.

Răspuns: $S=\{1,\ 4\}$

1. Pentru ca numărul să fie impar, cifra unităților trebuie să fie impară. Cifrele impare din $A=\{3,4,5,7,9\}$ sunt $3,5,7,9$, deci $4$ alegeri.
2. Cifrele trebuie să fie distincte: după ce am fixat unitatea, cifra zecilor se alege din celelalte $4$ elemente ale lui $A$.
3. Aplicăm principiul multiplicării: $4\cdot4=16$ numere.

Răspuns: $16$ numere

1. Scriem vectorii pe coordonate: $\overrightarrow{OB}=B-O=(6,4)$ și $\overrightarrow{AC}=C-A=(x_C,\, y_C-2)$.
2. Condiția $2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$ dă pe componente: $2x_C=6$ și $2(y_C-2)=4$.
3. Rezolvăm: $x_C=3$ și $y_C-2=2\Rightarrow y_C=4$.

Răspuns: $C(3,4)$

1. Triunghiul fiind dreptunghic în $A$, ipotenuza $BC$ este diametrul cercului circumscris: $BC=2R=2\cdot4=8$.
2. Aflăm cateta $AC$ cu teorema lui Pitagora: $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.
3. Aria triunghiului dreptunghic este $\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{4\cdot4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$.

Răspuns: $\mathcal{A}_{ABC}=8\sqrt{3}$

1. Înlocuim $a=2$ în matrice: $A(2)=\begin{pmatrix} 2&1&4 \\ 2&1&0 \\ 1&1&-2 \end{pmatrix}$.
2. Aplicăm regula lui Sarrus, termenii pozitivi: $2\cdot1\cdot(-2)+1\cdot0\cdot1+4\cdot2\cdot1=-4+0+8$.
3. Termenii negativi: $4\cdot1\cdot1+2\cdot0\cdot(-2)+1\cdot2\cdot(-2)$, scăzuți: $-4-0+4$.
4. Adunăm tot: $-4+0+8-4-0+4=4$.

Răspuns: $\det(A(2))=4$

1. Pentru $a=1$ calculăm determinantul matricei sistemului: $\det(A(1))=2\cdot1^2-2\cdot1=0$, deci sistemul nu este de tip Cramer.
2. Verificăm matricea extinsă: toți minorii de ordin $3$ sunt nuli, iar un minor de ordin $2$ (de exemplu $\begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}=-3$) este nenul, deci rangul este $2$.
3. Rangul matricei sistemului coincide cu cel al matricei extinse ($=2$), iar $2<3$ (numărul de necunoscute), deci sistemul este compatibil nedeterminat.

Răspuns: Sistemul are o infinitate de soluții (compatibil nedeterminat)

1. Sistemul are soluție unică dacă $\det(A(a))\ne 0$. Cum $\det(A(a))=2a^2-2a=2a(a-1)$, condiția este $a\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$.
2. Pentru aceste valori, prin regula lui Cramer obținem $x_0=-\dfrac{1}{2}$ (independent de $a$).
3. Impunem $x_0=a$: $a=-\dfrac{1}{2}$, valoare care satisface $a\notin\{0,1\}$.

Răspuns: $a=-\dfrac{1}{2}$

1. Pentru $m=3$, $f=X^4-3X^3+X^2-2X+3$. Înlocuim $X=1$.
2. Termenii pozitivi: $1^4+1^2+3=1+1+3=5$.
3. Termenii negativi: $-3\cdot1^3-2\cdot1=-3-2=-5$.
4. Adunăm: $f(1)=5+(-5)=0$.

Răspuns: $f(1)=0$

1. Aplicăm relațiile lui Viète pentru $f=X^4-3X^3+X^2-2X+m$: produsul rădăcinilor $x_1x_2x_3x_4=m$, iar suma $x_1+x_2+x_3+x_4=3$.
2. Înlocuim în condiția dată: $(x_1x_2x_3x_4)^2-(x_1+x_2+x_3+x_4)=m^2-3=1$.
3. Rezolvăm: $m^2=4\Rightarrow m=-2$ sau $m=2$.

Răspuns: $m=-2$ sau $m=2$

1. Pentru $m=0$, $f=X^4-3X^3+X^2-2X$. Prin teorema restului, restul împărțirii la $X-a$ este $f(a)$.
2. Impunem $f(a)=a$: $a^4-3a^3+a^2-2a=a$, adică $a^4-3a^3+a^2-3a=0$.
3. Factorizăm: $a^4-3a^3+a^2-3a=a^3(a-3)+a(a-3)=(a-3)(a^3+a)=a(a-3)(a^2+1)$.
4. Cum $a^2+1>0$ pentru orice $a$ real, rămâne $a(a-3)=0\Rightarrow a=0$ sau $a=3$.

Răspuns: $a=0$ sau $a=3$

1. Aplicăm regula câtului cu $u=x^2+6$, $v=\sqrt{x^2+1}$, unde $u'=2x$ și $v'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
2. Numărătorul lui $f'$ este $u'v-uv'=2x\sqrt{x^2+1}-(x^2+6)\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, iar numitorul $v^2=x^2+1$.
3. Aducem la același numitor și simplificăm la numărător: $2x(x^2+1)-(x^2+6)x=2x^3+2x-x^3-6x=x^3-4x=x(x^2-4)$.
4. Obținem $f'(x)=\dfrac{x(x^2-4)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{x(x^2-4)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$

1. Calculăm $f(0)=\dfrac{0+6}{\sqrt{0+1}}=6$ și $f'(0)=\dfrac{0\cdot(0-4)}{1\cdot1}=0$.
2. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $0$: $y-f(0)=f'(0)(x-0)$, adică $y-6=0\cdot x$.
3. Rezultă $y=6$ (tangentă orizontală).

Răspuns: $y=6$

1. Studiem semnul derivatei pe $[0,2]$: $f'(x)=\dfrac{x(x^2-4)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, unde pentru $x\in(0,2)$ avem $x>0$ și $x^2-4<0$, deci $f'(x)\leq 0$ și $f$ este descrescătoare pe $[0,2]$.
2. Pentru $x\in[0,1]$, $f$ descrescătoare dă $f(x)\geq f(1)=\dfrac{7}{\sqrt{2}}$.
3. Argumentul $7x\in[0,7]$; valoarea maximă a lui $f$ pe $[0,7]$ se atinge la capăt: $f(7)=\dfrac{55}{\sqrt{50}}=\dfrac{11}{\sqrt{2}}$, deci $f(7x)\leq\dfrac{11}{\sqrt{2}}$.
4. Scădem: $f(7x)-f(x)\leq\dfrac{11}{\sqrt{2}}-\dfrac{7}{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.

Răspuns: $f(7x)-f(x)\leq 2\sqrt{2}$ pentru orice $x\in[0,1]$

1. Simplificăm integrandul: $f(x)-e^{2x}=(3x^2-1+e^{2x})-e^{2x}=3x^2-1$.
2. O primitivă a lui $3x^2-1$ este $x^3-x$.
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\int_0^3(3x^2-1)\,dx=[x^3-x]_0^3=(27-3)-0=24$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^3\bigl(f(x)-e^{2x}\bigr)\,dx=24$

1. Simplificăm integrandul: $f(x)-3x^2+1=(3x^2-1+e^{2x})-3x^2+1=e^{2x}$, deci $4x(f(x)-3x^2+1)=4xe^{2x}$.
2. Scriem $4xe^{2x}=2x(e^{2x})'$ și integrăm prin părți: $\int_0^1 2x(e^{2x})'\,dx=\bigl[2xe^{2x}\bigr]_0^1-\int_0^1 2e^{2x}\,dx$.
3. Calculăm: $\bigl[2xe^{2x}\bigr]_0^1=2e^2$, iar $\int_0^1 2e^{2x}\,dx=\bigl[e^{2x}\bigr]_0^1=e^2-1$.
4. Adunăm: $2e^2-(e^2-1)=e^2+1$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 4x\bigl(f(x)-3x^2+1\bigr)\,dx=e^2+1$

1. Limita este de forma $\dfrac{0}{0}$ (integrala de la $0$ la $0$ este nulă). Aplicăm L'Hôpital, derivând numărătorul $\left(\int_0^x\dfrac{f(t)}{t+1}dt\right)'=\dfrac{f(x)}{x+1}$ și numitorul $(x^2)'=2x$: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{2x(x+1)}$.
2. Cum $f(0)=3\cdot0-1+e^0=0$, suntem din nou la forma $\dfrac{0}{0}$; aplicăm încă o dată L'Hôpital, cu $f'(x)=6x+2e^{2x}$ și $(2x(x+1))'=2(2x+1)$.
3. Evaluăm în $0$: $f'(0)=6\cdot0+2e^0=2$, iar numitorul $2(2\cdot0+1)=2$.
4. Obținem limita $\dfrac{2}{2}=1$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\int_0^x\dfrac{f(t)}{t+1}\,dt=1$