Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2025

1. Calculăm fiecare termen: $2z_1 = 2(1-i) = 2 - 2i$ și $iz_2 = i(2+i) = 2i + i^2$.
2. Adunăm: $2z_1 + iz_2 = 2 - 2i + 2i + i^2$.
3. Înlocuim $i^2 = -1$: $2 - 2i + 2i - 1 = 2 - 1 = 1$.

Răspuns: $2z_1 + iz_2 = 1$

1. Calculăm compusa: $(f\circ f)(a) = f(f(a)) = f(a+3) = (a+3)+3 = a+6$.
2. Impunem condiția din enunț: $a + 6 = 9$.
3. Rezolvăm ecuația și obținem $a = 3$.

Răspuns: $a = 3$

1. Punem condiția de existență $x \geq 0$ (membrul drept trebuie să fie nenegativ).
2. Ridicăm la pătrat: $2x^2 - 3x + 2 = x^2$, de unde $x^2 - 3x + 2 = 0$.
3. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: $x = 1$ sau $x = 2$, ambele verificând $x \geq 0$.

Răspuns: $x = 1$ sau $x = 2$, deci $S = \{1, 2\}$

1. Divizorii lui $2^6 = 64$ sunt $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$.
2. Dintre aceștia, numere de două cifre (cazuri favorabile) sunt $16, 32, 64$, deci $3$ valori.
3. Numerele naturale de două cifre sunt $90$ (de la $10$ la $99$), deci probabilitatea este $\dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30}$.

Răspuns: $P = \dfrac{1}{30}$

1. Mijlocul lui $AC$: $\left(\dfrac{0+6}{2},\ \dfrac{1+3}{2}\right) = (3, 2)$.
2. Mijlocul lui $BD$: $\left(\dfrac{5+a}{2},\ \dfrac{0+b}{2}\right)$.
3. Egalăm cele două mijloace: $\dfrac{5+a}{2} = 3 \Rightarrow a = 1$ și $\dfrac{b}{2} = 2 \Rightarrow b = 4$.

Răspuns: $a = 1,\ b = 4$

1. În triunghiul dreptunghic în $A$, $\operatorname{tg} B = \dfrac{AC}{AB}$, deci $\dfrac{AC}{2} = 3$, de unde $AC = 6$.
2. Aplicăm teorema lui Pitagora: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$.
3. Extragem rădăcina: $BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Răspuns: $BC = 2\sqrt{10}$

1. Înlocuim $x=1$: $A(1)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{pmatrix}$.
2. Dezvoltăm după coloana a doua (care are doar elementul $2$ nenul): $\det A(1) = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -9 & 5 \end{pmatrix}$.
3. Calculăm minorul: $(-1)\cdot 5 - 1\cdot(-9) = -5 + 9 = 4$, deci $\det A(1) = 2 \cdot 4 = 8$.

Răspuns: $\det(A(1)) = 8$

1. Elementul $(1,1)$: $(2-3x)(2-3y) + x(-9y) = 4 - 6x - 6y + 9xy - 9xy = 4 - 6x - 6y$, care coincide cu $2(2-3(x+y))$, adică $2$ ori elementul $(1,1)$ din $A(x+y)$.
2. Elementul $(3,3)$: $(-9x)(y) + (2+3x)(2+3y) = -9xy + 4 + 6x + 6y + 9xy = 4 + 6x + 6y = 2(2+3(x+y))$.
3. Verificând și celelalte poziții (linia/coloana a doua dau $2\cdot 2 = 4 = 2\cdot 2$, iar elementele $(1,3)$ și $(3,1)$ se dublează analog), obținem $A(x)\cdot A(y) = 2A(x+y)$.

Răspuns: $A(x)\cdot A(y) = 2A(x+y)$

1. Din liniaritatea elementelor, $A(x)+A(3x) = 2A(2x)$ (de exemplu, elementul $(1,1)$: $(2-3x)+(2-9x) = 4-12x = 2(2-6x)$).
2. Folosind punctul b), $\big(A(x)+A(3x)\big)\cdot A(2x) = 2A(2x)\cdot A(2x) = 2\cdot 2A(4x) = 4A(4x)$.
3. Egalitatea $4A(4x) = 4A(x^2)$ revine la $4x = x^2$, adică $x^2 - 4x = 0$, cu soluțiile $x=0$ sau $x=4$.

Răspuns: $x = 0$ sau $x = 4$

1. Înlocuim $X=1$: $f(1) = a\cdot 1^3 + 3\cdot 1^2 - a\cdot 1 - 6 = a + 3 - a - 6$.
2. Termenii cu $a$ se reduc: $a - a = 0$.
3. Rămâne $f(1) = 3 - 6 = -3$, independent de valoarea lui $a$.

Răspuns: $f(1) = -3$

1. Pentru $a=1$ avem $f = X^3 + 3X^2 - X - 6$. Câtul are gradul $\deg f - \deg g = 1$, iar termenul dominant este $X^3 : X^2 = X$.
2. Calculăm $f - X\cdot g = (X^3 + 3X^2 - X - 6) - (X^3 + 3X^2 - X) = -6$.
3. Cum $\deg(-6) < \deg g$, împărțirea se oprește: câtul este $X$, iar restul este $-6$.

Răspuns: Câtul $q = X$, restul $r = -6$

1. Scriem $f = a(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, deci $f(-1) = a(-1)^3(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = -a(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)$.
2. Calculăm $f(-1) = -a + 3 + a - 6 = -3$, prin urmare $(1+x_1)(1+x_2)(1+x_3) = -\dfrac{f(-1)}{a} = \dfrac{3}{a}$.
3. Punem condiția $\dfrac{3}{a} = 1$ și obținem $a = 3$.

Răspuns: $a = 3$

1. Scriem logaritmul ca diferență: $\ln\dfrac{x}{x+2} = \ln x - \ln(x+2)$.
2. Derivăm termen cu termen: $f'(x) = 2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+2}$.
3. Aducem la numitorul comun $x(x+2)$: numărătorul este $2x(x+2) + (x+2) - x = 2x^2 + 4x + 2 = 2(x+1)^2$, deci $f'(x) = \dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}$.

Răspuns: $f'(x) = \dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)}$

1. Calculăm panta: $m = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\left(2 + \dfrac{1}{x}\ln\dfrac{x}{x+2}\right) = 2$.
2. Calculăm ordonata la origine: $n = \lim_{x\to+\infty}(f(x) - 2x) = \lim_{x\to+\infty}\ln\dfrac{x}{x+2} = \ln 1 = 0$.
3. Asimptota oblică are ecuația $y = mx + n = 2x$.

Răspuns: $y = 2x$

1. Pe $(0,+\infty)$ avem $f'(x) = \dfrac{2(x+1)^2}{x(x+2)} > 0$, deci $f$ este strict crescătoare, prin urmare injectivă.
2. La capete: $\lim_{x\to 0^+}f(x) = -\infty$ și $\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty$, iar $f$ este continuă.
3. Fiind continuă și strict crescătoare cu imaginea $\mathbb{R}$, $f$ este surjectivă; împreună cu injectivitatea rezultă că $f$ este bijectivă.

Răspuns: $f$ este bijectivă

1. Simplificăm integrandul: $f(x)(x+1)^3 = \dfrac{x^2}{(x+1)^3}\cdot(x+1)^3 = x^2$.
2. Integrăm: $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^3$.
3. Evaluăm: $\dfrac{3^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{27}{3} = 9$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^3 f(x)(x+1)^3\,dx = 9$

1. Simplificăm: $\sqrt{f(x)(x+1)} = \sqrt{\dfrac{x^2}{(x+1)^2}} = \dfrac{x}{x+1}$ pe $[0,1]$ (numărător și numitor nenegativi).
2. Rescriem fracția: $\dfrac{x}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x+1}$, cu primitiva $x - \ln(x+1)$.
3. Evaluăm: $\big[x - \ln(x+1)\big]_0^1 = (1 - \ln 2) - (0 - \ln 1) = 1 - \ln 2$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{f(x)(x+1)}\,dx = 1 - \ln 2$

1. Simplificăm funcția: $g(x) = \dfrac{f(e^x)}{e^x} = \dfrac{e^{2x}}{(e^x+1)^3}\cdot\dfrac{1}{e^x} = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^3}$, pozitivă, deci aria este $\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x)\,dx$.
2. Cu substituția $u = e^x + 1$ obținem primitiva $-\dfrac{1}{2(e^x+1)^2}$.
3. Evaluăm $\left.-\dfrac{1}{2(e^x+1)^2}\right|_{-1}^{1} = \dfrac{1}{2(e^{-1}+1)^2} - \dfrac{1}{2(e+1)^2} = \dfrac{e^2-1}{2(e+1)^2} = \dfrac{(e-1)(e+1)}{2(e+1)^2} = \dfrac{e-1}{2(e+1)}$.

Răspuns: Aria $= \dfrac{e-1}{2(e+1)}$