Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Sesiunea de Vară 2025 (rezervă)

1. Folosim proprietatea diferenței de logaritmi: $\log_5 10 - \log_5 2 = \log_5 \dfrac{10}{2} = \log_5 5 = 1$.
2. Calculăm $\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$.
3. Înlocuim: $2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 2\cdot 1 + 2 = 4$.

Răspuns: $2(\log_5 10 - \log_5 2) + \log_5 25 = 4$

1. Calculăm $f(2+m)$ după definiția funcției: $f(2+m) = (2+m) - 4 = m - 2$.
2. Punem condiția din enunț: $m - 2 = 2 - m$.
3. Rezolvăm ecuația: $2m = 4$, deci $m = 2$.

Răspuns: $m = 2$

1. Scriem $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$, deci membrul stâng devine $2^{3x}\cdot 2^{1-x} = 2^{3x+1-x} = 2^{2x+1}$.
2. Egalăm exponenții bazelor egale: $2x + 1 = 7$.
3. Rezolvăm: $2x = 6$, deci $x = 3$.

Răspuns: $x = 3$

1. Un număr este divizibil cu $5$ dacă se termină în $0$ sau $5$; singura cifră din $A$ care convine este $5$, deci cifra unităților se alege într-un singur mod.
2. Cifra sutelor se alege din cele $5$ cifre rămase, iar cifra zecilor din alte $4$ cifre (toate distincte).
3. Aplicăm regula produsului: $1 \cdot 5 \cdot 4 = 20$ numere.

Răspuns: $20$ numere

1. Calculăm panta dreptei $BC$ cu $B(2,0)$ și $C(4,6)$: $m_{BC} = \dfrac{6-0}{4-2} = \dfrac{6}{2} = 3$.
2. Dreapta $d$ este paralelă cu $BC$, deci are aceeași pantă $m = 3$.
3. Scriem ecuația prin $A(0,1)$: $y - 1 = 3(x - 0)$, adică $y = 3x + 1$.

Răspuns: $y = 3x + 1$

1. Pentru $x=\dfrac{\pi}{3}$ avem $\dfrac{3x}{4}=\dfrac{\pi}{4}$ și $\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{6}$.
2. Calculăm valorile standard: $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}$, $\left(\cos\dfrac{\pi}{4}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$ și $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Înlocuim: $E\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$.

Răspuns: $E\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

1. Înlocuim $a=1$ în matrice: $A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus: $\det = 1\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 2 + (-2)\cdot 0\cdot 4 - \bigl((-2)\cdot 1\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 4 + 1\cdot 0\cdot 1\bigr)$.
3. Obținem $\det = 1 + 2 + 0 - (-4 + 4 + 0) = 3 - 0 = 3$.

Răspuns: $\det(A(1)) = 3$

1. Calculăm determinantul matricei sistemului dezvoltând după prima coloană: $\det(A(a)) = a(a\cdot 1 - 1\cdot 4) + 2(1\cdot 1 - (-2)\cdot a)$.
2. Reducem: $\det(A(a)) = a(a-4) + 2(1+2a) = a^2 - 4a + 2 + 4a = a^2 + 2$.
3. Cum $a^2 \geq 0$ pentru orice $a\in\mathbb{R}$, avem $\det(A(a)) = a^2 + 2 \geq 2 > 0$, deci determinantul este nenul și sistemul are soluție unică (sistem Cramer).

Răspuns: $\det(A(a)) = a^2+2 > 0$, deci sistemul are soluție unică pentru orice $a\in\mathbb{R}$

1. Aplicăm regula lui Cramer pentru $y_0$: înlocuim coloana a doua cu termenii liberi $(4,1,4)$ și calculăm determinantul, obținând $12-3a$.
2. Împărțim la $\det(A(a))=a^2+2$: $y_0 = \dfrac{12-3a}{a^2+2}$.
3. Punem condiția $\dfrac{12-3a}{a^2+2}\geq 1$. Cum $a^2+2>0$, înmulțim: $12-3a \geq a^2+2 \Leftrightarrow a^2+3a-10\leq 0 \Leftrightarrow (a+5)(a-2)\leq 0$.
4. Soluția inecuației de gradul al doilea este $a\in[-5,2]$.

Răspuns: $a\in[-5,\,2]$

1. Înlocuim $x=6$ și $y=7$ în lege: $6\ast 7 = 4 - \dfrac{1}{2}(6-4)(7-4)$.
2. Calculăm factorii: $6-4=2$ și $7-4=3$, deci termenul scăzut este $\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3 = 3$.
3. Obținem $6\ast 7 = 4 - 3 = 1$.

Răspuns: $6\ast 7 = 1$

1. Aplicăm legea cu $y=x+4$, deci $y-4=x$: $x\ast(x+4) = 4 - \dfrac{1}{2}(x-4)\cdot x$.
2. Punem condiția $4 - \dfrac{1}{2}x(x-4) = 6$, adică $-\dfrac{1}{2}x(x-4) = 2$, deci $x(x-4) = -4$.
3. Rezolvăm $x^2 - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 = 0$, deci $x = 2$.

Răspuns: $x = 2$

1. Folosind asociativitatea, $m\ast n\ast p = 4 + \dfrac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4)$ (produsul a doi factori $-\dfrac{1}{2}$ dă $+\dfrac{1}{4}$).
2. Punem condiția $4 + \dfrac{1}{4}(m-4)(n-4)(p-4) = 3$, deci $(m-4)(n-4)(p-4) = -4$.
3. Notăm $a=m-4$, $b=n-4$, $c=p-4$ cu $a<b<c$ și căutăm factorizările lui $-4$ în trei întregi distincți: $(-2,1,2)$ și $(-1,1,4)$.
4. Revenim: $(-2,1,2)\to(m,n,p)=(2,5,6)$ și $(-1,1,4)\to(m,n,p)=(3,5,8)$.

Răspuns: $(m,n,p)\in\{(2,5,6),\,(3,5,8)\}$

1. Aplicăm regula produsului, știind că $\left(\sqrt{x^2+2}\right)' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$: $f'(x) = \sqrt{x^2+2} + (x-5)\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$.
2. Aducem la numitorul comun $\sqrt{x^2+2}$: $f'(x) = \dfrac{(x^2+2) + (x-5)x}{\sqrt{x^2+2}}$.
3. Reducem numărătorul: $x^2+2 + x^2-5x = 2x^2-5x+2$, deci $f'(x) = \dfrac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}$.

Răspuns: $f'(x) = \dfrac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}$

1. Semnul lui $f'$ este dat de numărător, deoarece $\sqrt{x^2+2}>0$. Rezolvăm $2x^2-5x+2=0$: $\Delta = 25-16 = 9$, deci $x=\dfrac{5\pm 3}{4}$, adică $x=\dfrac{1}{2}$ și $x=2$.
2. Trinomul $2x^2-5x+2$ (coeficient dominant pozitiv) este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele.
3. Deci $f'(x)\geq 0$ pe $\left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right]$ și pe $[2,+\infty)$, iar $f'(x)\leq 0$ pe $\left[\tfrac{1}{2},2\right]$.

Răspuns: $f$ crescătoare pe $\left(-\infty,\tfrac{1}{2}\right]$ și pe $[2,+\infty)$; descrescătoare pe $\left[\tfrac{1}{2},2\right]$

1. Simplificăm baza: $\dfrac{x^2-5x}{f(x)} = \dfrac{x(x-5)}{(x-5)\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$, care tinde la $1$ când $x\to+\infty$ (caz $1^\infty$).
2. Trecem la logaritm: studiem $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x\ln\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}} = \lim_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{x}{2}\ln\!\left(1+\dfrac{2}{x^2}\right)\right)$.
3. Folosind $\ln\!\left(1+\dfrac{2}{x^2}\right)\sim\dfrac{2}{x^2}$, exponentul tinde la $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{2}{x^2}\right) = -\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} = 0$.
4. Deci limita inițială este $e^0 = 1$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2-5x}{f(x)}\right)^{\!x}=1$

1. Simplificăm integrandul: $f(x) - \ln^2 x = 8x^3 + 1 + \ln^2 x - \ln^2 x = 8x^3 + 1$.
2. Calculăm o primitivă: $\displaystyle\int(8x^3+1)\,dx = 2x^4 + x$.
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\bigl[2x^4+x\bigr]_1^2 = (2\cdot 16 + 2) - (2 + 1) = 34 - 3 = 31$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^2\!\bigl(f(x)-\ln^2 x\bigr)\,dx = 31$

1. Simplificăm integrandul: $f(x) - 8x^3 - 1 = \ln^2 x$, deci $\dfrac{f(x)-8x^3-1}{x} = \dfrac{\ln^2 x}{x}$.
2. Observăm că $\dfrac{\ln^2 x}{x} = \ln^2 x\cdot(\ln x)'$, deci o primitivă este $\dfrac{\ln^3 x}{3}$ (schimbare de variabilă $u=\ln x$).
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\left[\dfrac{\ln^3 x}{3}\right]_1^e = \dfrac{\ln^3 e}{3} - \dfrac{\ln^3 1}{3} = \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)-8x^3-1}{x}\,dx = \dfrac{1}{3}$

1. Avem $f(x)-8x^3 = 1+\ln^2 x$, deci $I_{n+2}+I_n = \displaystyle\int_1^{e^2}\dfrac{x\bigl[(\ln x)^{n+2}+(\ln x)^n\bigr]}{1+\ln^2 x}\,dx$.
2. Dăm factor comun la numărător: $(\ln x)^{n+2}+(\ln x)^n = (\ln x)^n(\ln^2 x+1)$, care se simplifică cu numitorul, rămânând $I_{n+2}+I_n = \displaystyle\int_1^{e^2} x(\ln x)^n\,dx$.
3. Pe $[1,e^2]$ avem $\ln x\in[0,2]$, deci $(\ln x)^n\leq 2^n$; integrând inegalitatea: $I_{n+2}+I_n \leq 2^n\displaystyle\int_1^{e^2} x\,dx$.
4. Cum $\displaystyle\int_1^{e^2} x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^{e^2} = \dfrac{e^4-1}{2}$, obținem $I_{n+2}+I_n \leq 2^n\cdot\dfrac{e^4-1}{2} = 2^{n-1}(e^4-1)$.

Răspuns: $I_{n+2}+I_n\leq 2^{n-1}(e^4-1)$ pentru orice $n\in\mathbb{N}^*$