Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Subiect Model 2026

1. Trei numere $a,b,c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă termenul mijlociu este media aritmetică a vecinilor: $b=\dfrac{a+c}{2}$.
2. Aplicăm condiția pentru $a=x$, $b=8$, $c=2x+1$: obținem $8=\dfrac{x+(2x+1)}{2}$.
3. Înmulțim cu $2$ și rezolvăm: $16=3x+1$, deci $3x=15$, adică $x=5$.

Răspuns: $x = 5$

1. Calculăm $(f\circ g)(a)=f(g(a))$, unde $g(a)=a+4$.
2. Aplicăm $f$: $f(a+4)=2(a+4)+1=2a+9$.
3. Punem condiția $(f\circ g)(a)=-a$: $2a+9=-a$, deci $3a=-9$, adică $a=-3$.

Răspuns: $a = -3$

1. Condiția de existență: $x>0$ și $4x+5>0$, deci $x>0$.
2. Folosim $2\log_5 x=\log_5 x^2$, iar din egalitatea logaritmilor cu aceeași bază rezultă $x^2=4x+5$, adică $x^2-4x-5=0$.
3. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: $x_1=5$, $x_2=-1$.
4. Verificăm domeniul: $x=-1<0$ nu convine, deci rămâne doar $x=5$.

Răspuns: $x = 5$

1. Cifra zecilor trebuie să fie impară; cifrele impare din $A=\{1,3,5,7,8\}$ sunt $1,3,5,7$, deci avem $4$ alegeri.
2. Cifra unităților trebuie să fie distinctă de cea a zecilor, deci se ia din cele $4$ cifre rămase ale lui $A$: $4$ alegeri.
3. Prin regula produsului, numărul total este $4\cdot 4=16$.

Răspuns: $16$ numere

1. Avem $\overrightarrow{OA}=(0,5)$ și $\overrightarrow{OB}=(3,4)$, deci $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(0+3,\ 5+4)=(3,9)$.
2. Din $3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ obținem $\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{3}(3,9)=(1,3)$.
3. Cum $\overrightarrow{OC}=C-O$, rezultă $C(1,3)$.

Răspuns: $C(1,3)$

1. Din suma unghiurilor, $\widehat{B}=\pi-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}$. Bisectoarea împarte $\widehat{C}=\dfrac{\pi}{3}$ în două unghiuri egale, deci $\widehat{ECB}=\dfrac{\pi}{6}$, iar $\widehat{EBC}=\dfrac{\pi}{6}$.
2. Cum $\widehat{ECB}=\widehat{EBC}=\dfrac{\pi}{6}$, triunghiul $BCE$ este isoscel cu $EB=EC$, deci distanța de la $B$ la dreapta $CE$ este egală cu distanța de la $C$ la $AB$, adică cu $AC$.
3. În triunghiul $AEC$, dreptunghic în $A$, avem $\operatorname{tg}\widehat{ACE}=\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, deci $AC=AE\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
4. Prin urmare distanța de la $B$ la dreapta $CE$ este $AC=2\sqrt{3}$.

Răspuns: Distanța de la $B$ la dreapta $CE$ este $2\sqrt{3}$.

1. Înlocuim $a=0$ în $A(a)$ și obținem $A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$.
2. Dezvoltăm determinantul după prima linie; cum primele două intrări sunt $0$, rămâne $\det(A(0))=-2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.
3. Calculăm minorul: $\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=1\cdot 1-1\cdot 2=-1$.
4. Așadar $\det(A(0))=-2\cdot(-1)=2$.

Răspuns: $\det(A(0))=2$

1. Dezvoltăm determinantul după prima linie (intrarea $(1,2)$ este $0$) și obținem $\det(A(a))=a^2-3a+2$.
2. Matricea $A(a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det(A(a))\ne 0$, adică $a^2-3a+2\ne 0$.
3. Rezolvăm $a^2-3a+2=0$ și găsim rădăcinile $a=1$ și $a=2$, valori care trebuie excluse.
4. Prin urmare $A(a)$ este inversabilă pentru $a\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\}$.

Răspuns: $a\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\}$

1. Pentru $a=2$, prima ecuație devine $2x-2z=4$, deci $x-z=2$. Scăzând-o din a treia, $(2x+y-2z)-(2x-2z)=5-4$, obținem $y=1$.
2. Notând $x_0=\alpha\in\mathbb{R}$, rezultă $z_0=\alpha-2$, deci soluția generală este $(\alpha,\ 1,\ \alpha-2)$.
3. Calculăm $x_0z_0+y_0=\alpha(\alpha-2)+1=\alpha^2-2\alpha+1=(\alpha-1)^2$.
4. Cum $(\alpha-1)^2\ge 0$ pentru orice $\alpha\in\mathbb{R}$, avem $x_0z_0+y_0\ge 0$.

Răspuns: $x_0z_0+y_0=(\alpha-1)^2\ge 0$

1. Înlocuim $x=3$ și $y=5$ în legea $x*y=\dfrac{xy-1}{(x-1)(y-1)}$.
2. Numărătorul este $xy-1=3\cdot 5-1=14$, iar numitorul $(3-1)(5-1)=2\cdot 4=8$.
3. Așadar $3*5=\dfrac{14}{8}=\dfrac{7}{4}$.

Răspuns: $3*5=\dfrac{7}{4}$

1. Calculăm $x*x=\dfrac{x^2-1}{(x-1)^2}$ și, folosind $x^2-1=(x-1)(x+1)$, simplificăm: $x*x=\dfrac{x+1}{x-1}$.
2. Punem condiția $x*x=3$: $\dfrac{x+1}{x-1}=3$, deci $x+1=3(x-1)$.
3. Rezolvăm: $x+1=3x-3$, adică $2x=4$, deci $x=2$.
4. Verificăm apartenența: $x=2\in M=(1,+\infty)$, deci soluția convine.

Răspuns: $x = 2$

1. Calculăm întâi $x*2=\dfrac{2x-1}{(x-1)(2-1)}=\dfrac{2x-1}{x-1}$.
2. Notând $u=x*2$, avem $(x*2)*x=\dfrac{ux-1}{(u-1)(x-1)}$; aducând la numitor comun, numărătorul devine $\dfrac{2x^2-2x+1}{x-1}$, iar numitorul $x$, deci $(x*2)*x=\dfrac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}$.
3. Descompunem $2x^2-2x+1=2x(x-1)+1$, deci $(x*2)*x=2+\dfrac{1}{x(x-1)}$.
4. Pentru $x\in M=(1,+\infty)$ avem $x(x-1)>0$, deci $\dfrac{1}{x(x-1)}>0$ și $(x*2)*x>2$.

Răspuns: $(x*2)*x=2+\dfrac{1}{x(x-1)}>2$

1. Derivăm termen cu termen: $(\ln^2 x)'=\dfrac{2\ln x}{x}$ și, prin regula produsului, $(x\ln x)'=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1$.
2. Așadar $f'(x)=1+\dfrac{2\ln x}{x}-\ln x-1$.
3. Reducem $1$ cu $-1$ și aducem la numitorul comun $x$: $f'(x)=\dfrac{2\ln x-x\ln x}{x}$.
4. Grupăm factorul comun $\ln x$: $f'(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x}$

1. Tangenta la grafic în $A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$ dacă și numai dacă $f'(a)=0$, cu $a\in(0,+\infty)$.
2. Avem $f'(a)=\dfrac{(2-a)\ln a}{a}=0$, deci $(2-a)\ln a=0$.
3. Un produs este nul când un factor este nul: $2-a=0\Rightarrow a=2$ sau $\ln a=0\Rightarrow a=1$.
4. Ambele valori aparțin domeniului $(0,+\infty)$, deci abscisele căutate sunt $a=1$ și $a=2$.

Răspuns: $a\in\{1,\ 2\}$

1. Studiem semnul lui $f'(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x}$: pe $(0,1]$ avem $f'\le 0$ (descrescătoare), pe $[1,2]$ avem $f'\ge 0$ (crescătoare), iar pe $(2,+\infty)$ avem $f'<0$ (descrescătoare).
2. Cum $f(1)=1+0-0=1>0$, pe $(0,1]$ și pe $[1,2]$ funcția rămâne $\ge 1>0$, deci nu are zerouri pe $(0,2]$.
3. Pe $(2,+\infty)$, $f$ este continuă, strict descrescătoare, cu $f(2)>0$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
4. Conform teoremei valorilor intermediare și a stricta monotonie, $f$ se anulează exact o dată pe $(2,+\infty)$, deci ecuația $f(x)=0$ are soluție unică.

Răspuns: Ecuația $f(x)=0$ are soluție unică (situată în $(2,+\infty)$).

1. Simplificăm integrandul: $f(x)-\sqrt{x^2+4}=(x^2-2+\sqrt{x^2+4})-\sqrt{x^2+4}=x^2-2$.
2. Integrala devine $\displaystyle\int_0^3(x^2-2)\,dx$, cu primitiva $\dfrac{x^3}{3}-2x$.
3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\left(\dfrac{x^3}{3}-2x\right)\Big|_0^3=\left(\dfrac{27}{3}-6\right)-0=9-6=3$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^3\left(f(x)-\sqrt{x^2+4}\right)dx=3$

1. Simplificăm numitorul: $f(x)-x^2+2=(x^2-2+\sqrt{x^2+4})-x^2+2=\sqrt{x^2+4}$, deci integrandul este $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$.
2. Recunoaștem că $\left(\sqrt{x^2+4}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$, deci o primitivă este $\sqrt{x^2+4}$.
3. Aplicăm Leibniz-Newton: $\sqrt{x^2+4}\Big|_0^{\sqrt{5}}=\sqrt{5+4}-\sqrt{0+4}=3-2=1$.

Răspuns: $\displaystyle\int_0^{\sqrt{5}}\dfrac{x}{f(x)-x^2+2}\,dx=1$

1. Limita este o nedeterminare $\dfrac{0}{0}$; aplicăm l'Hôpital folosind $\left(\displaystyle\int_0^x F(t)\,dt\right)'=F(x)$ și $(x^2)'=2x$: obținem $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{F(x)}{2x}$.
2. Cum $F(0)=0$, rămâne tot $\dfrac{0}{0}$; aplicăm încă o dată l'Hôpital cu $F'(x)=f(x)$ și $(2x)'=2$: obținem $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{2}$.
3. Evaluăm $f(0)=0^2-2+\sqrt{0^2+4}=-2+2=0$.
4. Prin urmare limita este $\dfrac{f(0)}{2}=\dfrac{0}{2}=0$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\int_0^x F(t)\,dt=0$