Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Simulare 2026

1. Conjugatul lui $z=2+i$ este $\bar z=2-i$, deci $z+\bar z=(2+i)+(2-i)=4$.
2. Produsul $z\cdot\bar z=|z|^2=2^2+1^2=5$.
3. Adunăm cele două rezultate: $z+\bar z+z\cdot\bar z=4+5=9$.

Răspuns: $z+\bar z+z\cdot\bar z=9$

1. Punctele comune sunt date de $f(x)=g(x)$, adică $2x-1=x^2-4x+m$, de unde $x^2-6x+m+1=0$.
2. Un singur punct comun înseamnă ecuație cu o singură soluție, deci discriminantul este nul: $\Delta=36-4(m+1)=0$.
3. Rezolvăm $32-4m=0$ și obținem $m=8$.

Răspuns: $m=8$

1. Condiții de existență: $x>0$ și $x\ne 1$. Desfacem paranteza: $\log_2 x+\log_x 2\cdot\log_2 x=5$.
2. Cum $\log_x 2\cdot\log_2 x=1$, ecuația devine $\log_2 x+1=5$, deci $\log_2 x=4$.
3. Rezultă $x=2^4=16$, valoare care respectă condițiile de existență.

Răspuns: $x=16$

1. Numerele din $A$ au ambele cifre nenule, deci sunt $9\cdot 9=81$ cazuri posibile.
2. Cum cifrele sunt din $\{1,\ldots,9\}$, produsul lor se divide cu $5$ doar dacă cel puțin o cifră este $5$.
3. Cazuri favorabile: $9$ numere cu cifra zecilor $5$ plus $9$ cu cifra unităților $5$, minus $1$ numărat de două ori ($55$), deci $9+9-1=17$.
4. Probabilitatea este $\dfrac{17}{81}$.

Răspuns: $P=\dfrac{17}{81}$

1. Panta dreptei $OB$ este $m_{OB}=\dfrac{2-0}{4-0}=\dfrac{1}{2}$.
2. Dreapta cerută fiind perpendiculară pe $OB$, panta ei verifică $m_d\cdot\dfrac{1}{2}=-1$, deci $m_d=-2$.
3. Folosind $y-y_0=m_d(x-x_0)$ cu $A(0,5)$: $y-5=-2(x-0)$, adică $y=-2x+5$.

Răspuns: $y=-2x+5$

1. Din teorema lui Pitagora, $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$, iar mediana $AM=\dfrac{BC}{2}=7{,}5$.
2. Aria triunghiului $ABC$ este $\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{9\cdot 12}{2}=54$, iar mediana $AM$ o împarte în două arii egale, deci $\mathcal{A}_{AMC}=27$.
3. Distanța de la $C$ la $AM$ verifică $\mathcal{A}_{AMC}=\dfrac{AM\cdot d}{2}$, deci $d=\dfrac{2\cdot 27}{7{,}5}=7{,}2$.

Răspuns: $d(C,AM)=7{,}2$

1. Pentru $a=1$ obținem $A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Dezvoltăm după prima linie: $\det(A(1))=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 1\end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 3 & 2\end{pmatrix}$.
3. Calculăm minorii: $-1-2=-3$, $1-3=-2$, $2+3=5$, deci $\det(A(1))=-3-(-2)+5=4$.

Răspuns: $\det(A(1))=4$

1. Dezvoltând determinantul, $\det(A(a))=-2a^2+2a+4=-2(a^2-a-2)=-2(a-2)(a+1)$.
2. Matricea $A(a)$ este inversabilă $\Leftrightarrow\det(A(a))\ne 0$, adică $(a-2)(a+1)\ne 0$.
3. Excludem rădăcinile $a=2$ și $a=-1$, deci $a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}$.

Răspuns: $a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}$

1. Pentru $a=1$ sistemul are soluție unică; scăzând a doua ecuație din prima obținem $2y=6$, deci $y_1=3$.
2. Pentru $a=2$ soluțiile sunt $(\alpha,\ 4-\alpha,\ -\alpha)$, iar condiția $x_0y_0=y_1$ devine $\alpha(4-\alpha)=3$, adică $\alpha^2-4\alpha+3=0$.
3. Rezolvăm și găsim $\alpha=1$ sau $\alpha=3$, ceea ce dă soluțiile $(1,3,-1)$ și $(3,1,-3)$.

Răspuns: $(1,3,-1)$ și $(3,1,-3)$

1. Înlocuim $x=0$, $y=1$ și $m=3$ în lege: $0*1=\sqrt{(0^2+2)(1^2+2)+3}$.
2. Calculăm expresia de sub radical: $(0^2+2)(1^2+2)+3=2\cdot 3+3=9$.
3. Extragem radicalul: $0*1=\sqrt{9}=3$.

Răspuns: $0*1=3$

1. Ridicând la pătrat ecuația $\sqrt{(x^2+2)(4x^2+2)+7}=5$ și aducând la formă redusă obținem $2x^4+5x^2-7=0$.
2. Notăm $u=x^2\ge 0$: $2u^2+5u-7=0$, cu rădăcinile $u=1$ și $u=-\dfrac{7}{2}$.
3. Reținem doar $u=1\ge 0$, deci $x^2=1$, de unde $x=-1$ și $x=1$.

Răspuns: $x=-1$ și $x=1$

1. Notăm $(u*v)^2=(u^2+2)(v^2+2)+m$ și dezvoltăm ambii membri ai egalității $(x*y)*z=x*(y*z)$ după ridicare la pătrat.
2. După simplificarea termenului comun $(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)+m$ rămâne $(m+2)(z^2+2)=(m+2)(x^2+2)$, $\forall x,z\in\mathbb{R}$.
3. Această relație are loc pentru orice $x,z$ doar dacă $m+2=0$, deci $m=-2\in[-4,+\infty)$.

Răspuns: $m=-2$

1. Aplicăm regula câtului cu $u=e^{x-2}$, $u'=e^{x-2}$, $v=\sqrt{x-1}$, $v'=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}$.
2. Numărătorul $u'v-uv'=e^{x-2}\sqrt{x-1}-e^{x-2}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}=\dfrac{e^{x-2}\bigl(2(x-1)-1\bigr)}{2\sqrt{x-1}}=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2\sqrt{x-1}}$.
3. Împărțim la $v^2=x-1$ și obținem $f'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$.

Răspuns: $f'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$

1. Cum $f(2)=\dfrac{e^0}{\sqrt{1}}=1$, avem cazul $1^\infty$; scriem limita ca $e^L$, unde $L=\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-1}{x-2}=f'(2)$.
2. Înlocuim $x=2$ în formula derivatei: $f'(2)=\dfrac{e^0(2\cdot 2-3)}{2\cdot 1\cdot\sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}$.
3. Așadar limita este $e^{1/2}=\sqrt{e}$.

Răspuns: $\displaystyle\lim_{x\to 2}(f(x))^{\frac{1}{x-2}}=\sqrt{e}$

1. Pe $(1,+\infty)$ avem $f(x)>0$, deci ecuația $f(x)=mx$ este echivalentă cu $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}=m$.
2. Din $g'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x^2-5x+2)}{2x^2(x-1)\sqrt{x-1}}$, rezolvând $2x^2-5x+2=0$, singura soluție în $(1,+\infty)$ este $x=2$, punct de minim.
3. Minimul este $g(2)=\dfrac{f(2)}{2}=\dfrac{1}{2}$, iar $g(x)\to+\infty$ atât pentru $x\to 1$, cât și pentru $x\to+\infty$.
4. Dreapta $y=m$ intersectează graficul lui $g$ în exact două puncte pentru $m>\dfrac{1}{2}$, deci $m\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$.

Răspuns: $m\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$

1. Simplificăm $\ln x$: $\dfrac{f(x)}{\ln x}=\dfrac{\left(4x+\frac{6}{x^2}\right)\ln x}{\ln x}=4x+\dfrac{6}{x^2}$.
2. O primitivă este $2x^2-\dfrac{6}{x}$, deoarece $\displaystyle\int 4x\,dx=2x^2$ și $\displaystyle\int\dfrac{6}{x^2}\,dx=-\dfrac{6}{x}$.
3. Aplicăm Leibniz-Newton: $\left(2\cdot 9-\dfrac{6}{3}\right)-\left(2\cdot 4-\dfrac{6}{2}\right)=16-5=11$.

Răspuns: $\displaystyle\int_2^3\dfrac{f(x)}{\ln x}\,dx=11$

1. Cum $f(x)-4x\ln x=\dfrac{6\ln x}{x^2}$, înmulțind cu $x$ integrandul devine $\dfrac{6\ln x}{x}$.
2. Cu substituția $u=\ln x$, $\dfrac{6\ln x}{x}=6(\ln x)(\ln x)'$, deci o primitivă este $3\ln^2 x$.
3. Aplicăm Leibniz-Newton: $3\ln^2 e-3\ln^2 1=3\cdot 1-0=3$.

Răspuns: $\displaystyle\int_1^e x\bigl(f(x)-4x\ln x\bigr)dx=3$

1. Condiția de tangență la $Ox$ cere $F(a)=0$ și $f(a)=0$; pe $(0,+\infty)$, $f(a)=\left(4a+\frac{6}{a^2}\right)\ln a=0$ implică $\ln a=0$, deci $a=1$.
2. Integrând prin părți cu $\left(2t^2-\dfrac{6}{t}\right)'=4t+\dfrac{6}{t^2}$, primitivele lui $f$ au forma $F(x)=\left(2x^2-\dfrac{6}{x}\right)\ln x-x^2-\dfrac{6}{x}+C$.
3. Punem condiția $F(1)=0$: $0-1-6+C=0$, deci $C=7$.

Răspuns: $F(x)=\left(2x^2-\dfrac{6}{x}\right)\ln x-x^2-\dfrac{6}{x}+7$