Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Sesiunea de Toamnă 2021

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2021, sesiunea de toamnă. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Arătați că $3(4-i)+3i(1+i)=9$ , unde $i^2=-1$ .
2.
Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-4$ . Calculați $(f\circ f)(2)$ .
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3\left(x^2-2x+4\right)=1$ .
4.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $10$ .
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(3,a)$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ , știind că punctele $O$ , $A$ și $B$ sunt coliniare.
6.
Se consideră $E(x)=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$ , unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

A(x,y)=\begin{pmatrix} x+3y & 4y \\ -2y & x-3y \end{pmatrix}

, unde

x

și

y

sunt numere reale.

a.
Arătați că $\det(A(1,1))=0$ .
b.
Demonstrați că, dacă matricea $A(x,y)$ este inversabilă, atunci $|x|\ne|y|$ .
c.
Determinați perechile $(m,n)$ , de numere întregi, pentru care $A(m,n)\cdot A(-m,n)=I_2$ .

Pe mulțimea

A=[0,+\infty)

se definește legea de compoziție

x\circ y=4^{xy}-(1-x-y)

a.
Arătați că $2\circ 0=2$ .
b.
Arătați că $x\circ\dfrac{1}{x}\ge 5$ , pentru orice $x\in A$ , $x\ne 0$ .
c.
Demonstrați că, dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale impare, atunci $m\circ n$ este număr natural impar.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=x^3-3\ln x

a.
Arătați că $f'(x)=\dfrac{3(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x}$ , $x\in(0,+\infty)$ .
b.
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c.
Demonstrați că $x^3\ge 3\ln x+1$ , pentru orice $x\in(0,+\infty)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=xe^x

a.
Arătați că $\displaystyle\int_0^2\dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=2$ .
b.
Arătați că $\displaystyle\int_{-1}^1\left(f(x)+e^x\right)\,dx=\dfrac{e^2+1}{e}$ .
c.
Demonstrați că $\displaystyle\int_{-1-a}^{-1+a} f(x)\,dx\ge -\dfrac{2a}{e}$ , pentru orice $a\in(0,+\infty)$ .

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.