Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Sesiunea de Vară 2021

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2021, sesiunea de vară. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Determinați al treilea termen al progresiei geometrice $(b_n)_{n\ge 1}$ , știind că $b_1=2$ și $b_2=6$ .
2.
Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x+7$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=x-7$ . Calculați $(f\circ g)(7)$ .
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-1}=x-2$ .
4.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)>0$ .
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ , $B(-1,0)$ , $C(3,5)$ și $D(5,6)$ . Demonstrați că punctele $B$ , $D$ și mijlocul segmentului $AC$ sunt coliniare.
6.
Determinați $x\in(0,\pi)$ , știind că $(\sin x-\cos x)^2=2$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

A(a)=\begin{pmatrix} 1+2^a & 2^a \\ -2^a & 1-2^a \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.
Arătați că $\det\bigl(A(0)\bigr)=1$ .
b.
Arătați că $A(1)+A(2)-A(1)\cdot A(2)=I_2$ .
c.
Se consideră numerele naturale $m$ și $n$ , astfel încât $A(m)\cdot A(n)=A(m+n)$ . Arătați că $m=n=1$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x*y=x^2+y^2+x+y

a.
Arătați că $(-1)*(-1)=0$ .
b.
Demonstrați că $x*y=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c.
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x^2*x^2\le 4$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=x^2+4x-\dfrac{1}{2}\ln(x+2)

a.
Arătați că $f'(x)=\dfrac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}$ , $x\in(-2,+\infty)$ .
b.
Calculați $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+4x-f(x)}{x}$ .
c.
Demonstrați că $x^2+4x+\dfrac{15}{4}\ge\dfrac{1}{2}\ln(2x+4)$ , pentru orice $x\in(-2,+\infty)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=1+\dfrac{2}{x^2+1}

a.
Arătați că $\displaystyle\int_0^3 (x^2+1)f(x)\,dx=18$ .
b.
Arătați că $\displaystyle\int_1^3 xf(x)\,dx=4+\ln 5$ .
c.
Demonstrați că $F(x+1)\ge F(x)+1$ , pentru orice număr real $x$ , unde $F$ este o primitivă a lui $f$ .

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.