Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Subiect Model 2022

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2022, subiect model. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Arătați că numărul $N=\log_2 24-\log_2 12+3$ este pătratul unui număr natural.
2.
Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A\left(a,a^2\right)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x-1$ .
3.
Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-2x-2}=x-2$ .
4.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1!,2!,3!,\ldots,10!\}$ , acesta să fie divizibil cu $9$ .
5.
Se consideră triunghiul $ABC$ și punctul $D$ mijlocul segmentului $BC$ . Arătați că, pentru orice puncte $E$ și $F$ astfel încât $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}$ , are loc relația $2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ .
6.
Arătați că $(\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)$ , pentru orice număr real $x$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(x)=\begin{pmatrix} x^2 & 1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix}

, unde

x

este număr real.

a.
Arătați că $\det(A(-1))=3$ .
b.
Demonstrați că matricea $A(x)$ este inversabilă, pentru orice număr real $x$ .
c.
Determinați matricea $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(1)\cdot X\cdot A(1)=A(2)$ .

Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

x\circ y=xy-\sqrt{2}(x+y-1)+2

a.
Arătați că $\sqrt{2}\circ 0=\sqrt{2}$ .
b.
Determinați numerele reale $x$ pentru care $\left(x-\sqrt{2}\right)\circ\left(x+\sqrt{2}\right)=x$ .
c.
Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „ $\circ$ ” este număr rațional.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)

f(x)=x\left(1-\dfrac{1}{x}\ln\left(x^2+1\right)\right)

a.
Arătați că $f'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$ , $x\in(0,+\infty)$ .
b.
Determinați numărul natural nenul $n$ , știind că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(n,f(n))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=\dfrac{1}{5}x+1$ .
c.
Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{2\ln x}{x^3}

și funcția

F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

F(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}

, o primitivă a lui

f

a.
Arătați că $\displaystyle\int_1^e x^2\left(f(x)+\dfrac{2\ln x}{x^3}\right)dx=1$ .
b.
Arătați că $\displaystyle\int_1^{\sqrt{5}} x\cdot f\left(x^2+3\right)dx=-\dfrac{5\ln 2}{128}$ .
c.
Determinați numerele reale $a$ pentru care $\displaystyle\int_e^{e^2} x\cdot F(x)\,dx=\dfrac{a^2-1}{2}$ .

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.