Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Subiect Model 2023

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2023, subiect model. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Arătați că numerele $5-2\sqrt{6}$ , $1$ și $5+\sqrt{24}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
2.
Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=ax+1$ , unde $a$ este număr real nenul. Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(f\circ f)(1)=1$ .
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^x\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2-x}=32$ .
4.
Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulțimii $M=\{0,1,2,3,4\}$ .
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,1)$ și $B(2,5)$ . Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $B$ și este perpendiculară pe dreapta $AB$ .
6.
Arătați că $(\operatorname{tg} x+1)(\operatorname{ctg} x-1)=2\operatorname{ctg} 2x$ , pentru orice $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a)=\begin{pmatrix} a & 1 & a+1 \\ 1 & a & -1 \\ 2 & -a & 4 \end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases} ax+y+(a+1)z=a \\ x+ay-z=4 \\ 2x-ay+4z=-4 \end{cases}

, unde

a

este număr real.

a.
Arătați că $\det(A(1))=-9$ .
b.
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care sistemul are soluție unică.
c.
Arătați că, dacă sistemul are soluția unică $(x_0,y_0,z_0)$ , atunci $x_0+y_0+z_0=2$ .

Se consideră polinomul

f=X^3-3X^2+2X+m

, unde

m

este număr real.

a.
Pentru $m=6$ , arătați că $f(-1)=0$ .
b.
Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g=X^2+2$ .
c.
Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3=0$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=x+\dfrac{\sqrt{x+1}}{e^x}

a.
Arătați că $f'(x)=1-\dfrac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$ , $x\in(-1,+\infty)$ .
b.
Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .
c.
Demonstrați că $f(x)-x\le\sqrt{\dfrac{e}{2}}$ , pentru orice $x\in(-1,+\infty)$ .

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=x^2+x\ln x

a.
Arătați că $\displaystyle\int_1^2 3\left(f(x)-x\ln x\right)dx=7$ .
b.
Arătați că $\displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)}{x^3}\,dx=2\left(1-\dfrac{1}{e}\right)$ .
c.
Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:[1,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $g(x)=\dfrac{x+1}{f(x)}$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ are aria strict mai mare decât $1$ .

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.