Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Sesiunea de Toamnă 2023

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2023, sesiunea de toamnă. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Arătați că $3-4i+i(4-i)=4$ , unde $i^2=-1$ .
2.
Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=4-2x$ . Arătați că $(f\circ f)(1)=0$ .
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5\left(x^2-2x+6\right)=\log_5 6$ .
4.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $3$ și cu $7$ .
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$ , $B(a,0)$ și $C(0,b)$ . Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$ .
6.
Se consideră triunghiul $ABC$ , cu $AB=AC=10$ și $BC=16$ . Arătați că $AD=6$ , unde $AD$ este înălțime în triunghiul $ABC$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}

și

B(x)=\begin{pmatrix} x+1 & 2x+1 \\ x-1 & 2x-1 \end{pmatrix}

, unde

x

este număr real.

a.
Arătați că $\det(B(2))=4$ .
b.
Determinați numărul real $a$ pentru care $B(0)\cdot B(1)=aA$ .
c.
Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot B(x)=A\cdot(B(0)-3I_2)$ .

Se consideră polinomul

f=X^3+2X^2+mX-3

, unde

m

este număr real.

a.
Pentru $m=0$ , arătați că $f(1)=0$ .
b.
Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$ .
c.
Determinați numărul real $m$ pentru care $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=x_1 x_2 x_3$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}

a.
Arătați că $f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{\left(x^2+x-2\right)^2}$ , $x\in(1,+\infty)$ .
b.
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .
c.
Demonstrați că $f(x)+f\left(x^2\right)\ge\dfrac{17}{3}$ , pentru orice $x\in(1,2]$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=x(x-1)^2

a.
Arătați că $\displaystyle\int_3^7\dfrac{f(x)}{(x-1)^2}\,dx=20$ .
b.
Arătați că $\displaystyle\int_2^3\dfrac{x}{f(x)}\,dx=\dfrac{1}{2}$ .
c.
Arătați că $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x f\left(e^x\right)}{e^x}\,dx=\dfrac{e^2-5}{4}$ .

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.