Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Sesiunea de Vară 2023

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2023, sesiunea de vară. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Arătați că $4-6\sqrt{3}+3\left(2\sqrt{3}-1\right)=1$ .
2.
Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=5x-3$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=2x+3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$ .
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x+1}\cdot 2^3=1$ .
4.
Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{3,4,5,6\}$ .
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$ , $B(0,2)$ , $C(3,3)$ și $M$ , mijlocul segmentului $AB$ . Arătați că segmentele $MO$ și $MC$ au lungimile egale.
6.
Se consideră $E(x)=2\sin x\sin 2x-\cos x$ , unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

A(a)=\begin{pmatrix} 3+a & 2-2a \\ 1-a & 1+3a \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.
Arătați că $\det(A(0))=1$ .
b.
Arătați că $A(0)\cdot(A(a)-A(0))=aI_2$ , pentru orice număr real $a$ .
c.
Demonstrați că $\det\!\left(A\!\left(a^2\right)-aA(a)\right)\ge 0$ , pentru orice număr real $a$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x\circ y=x^2-4xy+3y^2

a.
Arătați că $0\circ 2=12$ .
b.
Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x)\circ x=-1$ .
c.
Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m<n$ , pentru care $m\circ n=3$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=5+\dfrac{4x-4}{x^2}

a.
Arătați că $f'(x)=\dfrac{4(2-x)}{x^3}$ , $x\in(0,+\infty)$ .
b.
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .
c.
Demonstrați că $|f(x)-f(y)|\le 1$ , pentru orice $x,y\in[1,+\infty)$ .

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=3x^2+4\ln x

a.
Arătați că $\displaystyle\int_1^2 (f(x)-4\ln x)\,dx=7$ .
b.
Arătați că $\displaystyle\int_1^e x(f(x)-3x^2)\,dx=e^2+1$ .
c.
Demonstrați că $\displaystyle\int_1^{\sqrt{e}} f(x)F''(x)\,dx=\dfrac{(3e-1)(3e+5)}{2}$ , pentru orice primitivă $F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $f$ .

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.