Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Tehnologic — Sesiunea de Vară 2025

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Tehnologic — Bacalaureat 2025, sesiunea de vară. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Arătați că $\dfrac{1}{10}+3\cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\right)=1$ .
2.
Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=6x-3$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f(2)=a+f(0)$ .
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2x}=5^{3-x}$ .
4.
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , acesta să verifice inegalitatea $6n>25$ .
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$ , $B(2,1)$ și $C(6,4)$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $BC=a\cdot AB$ .
6.
Se consideră triunghiul $MNP$ , dreptunghic în $M$ , cu $MN=4\cdot MP$ și $MN=8$ . Arătați că aria triunghiului $MNP$ este egală cu $8$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

A=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

și

I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

a.
Arătați că $\det A=1$ .
b.
Determinați numărul real $x$ pentru care $3A-5I_2=xB$ .
c.
Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $\det\bigl(A\cdot(B-A)+xI_2\bigr)\leq 2$ .

Se consideră polinomul

f=X^3-3X^2+X+m

, unde

m

este număr real.

a.
Pentru $m=1$ , arătați că $f(1)=0$ .
b.
Determinați numărul real $m$ pentru care $2x_1+2x_2+2x_3=1+x_1x_2x_3$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .
c.
Știind că restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X-2$ este $-5$ , arătați că $f$ este divizibil cu polinomul $X^2+1$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{x-2}{e^x}

a.
Arătați că $f'(x)=\dfrac{3-x}{e^x}$ , $x\in\mathbb{R}$ .
b.
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c.
Demonstrați că $-e^{x-1}\leq x-2\leq e^{x-3}$ , pentru orice $x\in[1,4]$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=x^2+4x+8

a.
Arătați că $\displaystyle\int_0^1\bigl(f(x)-x^2-8\bigr)\,dx=2$ .
b.
Arătați că $\displaystyle\int_0^8\dfrac{x}{f(x)-4x}\,dx=\ln 3$ .
c.
Determinați $a\in(0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle\int_0^a\dfrac{1}{f(x)-4}\,dx=\dfrac{1}{4}$ .

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.